函数 f(x) = |x| + 2 在点 x = 0 处()A. 连续但不可导B. 连续且可导C. 不连续且不可导D. 不连续但可导

本题考查函数在某点处的连续性与可导性的判断。解题思路是先根据函数连续性的定义判断函数在$x = 0$处是否连续，再根据函数可导性的定义判断函数在$x = 0$处是否可导。

1. 判断函数$f(x) = |x| + 2$在$x = 0$处的连续性：
   • 函数在某点连续的定义为$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
   • 首先求$f(0)$的值，将$x = 0$代入函数$f(x) = |x| + 2$中，可得$f(0)=|0| + 2 = 2$。
   • 然后求$\lim_{x \to 0} f(x)$的值，$\lim_{x \to 0} f(x)=\lim_{x \to 0} (|x| + 2)$，因为$\lim_{x \to 0} |x| = 0$，所以$\lim_{x \to 0} (|x| + 2)=0 + 2 = 2$。
   • 由于$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 2$，满足函数在某点连续的定义，所以函数$f(x)$在$x = 0$处连续。
2. 判断函数$f(x) = |x| + 2$在$x = 0$处的可导性：
   • 函数在某点可导的定义为$\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$存在。
   • 先计算$\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$，将$f(h)=|h| + 2$，$f(0)=2$代入可得$\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{|h| + 2 - 2}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$。
   • 接下来求该极限的左右极限：
     • 右极限：当$h\to 0^+$时，$h>0$，则$|h| = h$，所以$\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h}=\lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h}=1$。
     • 左极限：当$h\to 0^-$时，$h<0$，则$|h| = -h$，所以$\lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h}=\lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h}=-1$。
   • 因为左极限$\lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h}=-1$不等于右极限$\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h}=1$，所以$\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$不存在，即函数$f(x)$在$x = 0$处不可导。