题目
【题目】已知 u(x,y)=x^3+6x^2y-3xy^2-2y^3 ,求解析函数f(z)=u+iv,使其满足条件f(0)=0.
【题目】已知 u(x,y)=x^3+6x^2y-3xy^2-2y^3 ,求解析函数f(z)=u+iv,使其满足条件f(0)=0.
题目解答
答案
【解析】【思路探索】此类题目主要是借助于C.-R.方程计算线性积分解:(1)u=3x2+12xy-3y2, u_(xx)=6x+12yu_y=6x^2-6xy-6y^2 , u_(yy)=-6x-12y.u(x,y)在z平面上有二阶连续偏导数,且满足 u_(xx)+u_(yy)=0 ,故u(x,y)在C上调和.C.-R.方法 -:dv=v_xdx+v_ydy=(C.)/y-R.y=-u_ydx+u_xdy⇒v(x,y)=∫_((0,0))^((x,y))-(6x^2-6xy-6y^2)dx+(3x^2+12xy-3y^2)dy =-2x^3+3x^2y+6xy^2-y^3+C 从而f(z)=u+iv=x^3+6x^2y-3xy^2-2y^3+i(-2x^3+3x^2y+6xy^2-y^3+C) 令x=z,y=0,则 f(z)=z^3-2iz^3+iC=(1-2i)z^3+iC由条件f(0)=0得C=0,从而 f(z)=(1-2i)z^3 .方法二 :dv=v_xdx+v_ydy=(C.x-R)/ydx+u_xdy⇒v=∫_0^a-u_ydx+φ(y) (两端对x积分,视y为参数)=-2x^3+3x^2y+6xy^2+4(y) 3x^2+12xy-3y^2=u_x=v_y=3x^2+12xy+φ'(y) ⇒φ'(y)=-3y^2⇒ψ(y)=-3∫y^2dy=-y^3+C从而 v(x,y)=-2x^3+3x^2y+6xy^2-y^3+C (下同方法一).
解析
步骤 1：计算 u(x,y) 的偏导数
计算 u(x,y) 对 x 和 y 的偏导数，得到：
u_x = 3x^2 + 12xy - 3y^2
u_y = 6x^2 - 6xy - 6y^2
步骤 2：利用柯西-黎曼方程求 v(x,y)
根据柯西-黎曼方程，有：
v_x = -u_y = -(6x^2 - 6xy - 6y^2)
v_y = u_x = 3x^2 + 12xy - 3y^2
对 v_x 积分得到 v(x,y) 的表达式：
v(x,y) = -2x^3 + 3x^2y + 6xy^2 + C(y)
其中 C(y) 是关于 y 的函数，需要通过 v_y 的表达式确定。
对 v(x,y) 求 y 的偏导数，得到：
v_y = 3x^2 + 12xy + C'(y)
根据 v_y = u_x，得到：
3x^2 + 12xy + C'(y) = 3x^2 + 12xy - 3y^2
从而得到 C'(y) = -3y^2，积分得到 C(y) = -y^3 + C，其中 C 是常数。
因此，v(x,y) = -2x^3 + 3x^2y + 6xy^2 - y^3 + C。
步骤 3：确定常数 C
根据条件 f(0) = 0，即 u(0,0) + iv(0,0) = 0，得到：
0 + iC = 0
从而得到 C = 0。
因此，v(x,y) = -2x^3 + 3x^2y + 6xy^2 - y^3。
步骤 4：写出解析函数 f(z)
解析函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) = x^3 + 6x^2y - 3xy^2 - 2y^3 + i(-2x^3 + 3x^2y + 6xy^2 - y^3)。
将 x = z/2, y = z/2i 代入，得到：
f(z) = (1 - 2i)z^3。
计算 u(x,y) 对 x 和 y 的偏导数，得到：
u_x = 3x^2 + 12xy - 3y^2
u_y = 6x^2 - 6xy - 6y^2
步骤 2：利用柯西-黎曼方程求 v(x,y)
根据柯西-黎曼方程，有：
v_x = -u_y = -(6x^2 - 6xy - 6y^2)
v_y = u_x = 3x^2 + 12xy - 3y^2
对 v_x 积分得到 v(x,y) 的表达式：
v(x,y) = -2x^3 + 3x^2y + 6xy^2 + C(y)
其中 C(y) 是关于 y 的函数，需要通过 v_y 的表达式确定。
对 v(x,y) 求 y 的偏导数，得到：
v_y = 3x^2 + 12xy + C'(y)
根据 v_y = u_x，得到：
3x^2 + 12xy + C'(y) = 3x^2 + 12xy - 3y^2
从而得到 C'(y) = -3y^2，积分得到 C(y) = -y^3 + C，其中 C 是常数。
因此，v(x,y) = -2x^3 + 3x^2y + 6xy^2 - y^3 + C。
步骤 3：确定常数 C
根据条件 f(0) = 0，即 u(0,0) + iv(0,0) = 0，得到：
0 + iC = 0
从而得到 C = 0。
因此，v(x,y) = -2x^3 + 3x^2y + 6xy^2 - y^3。
步骤 4：写出解析函数 f(z)
解析函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) = x^3 + 6x^2y - 3xy^2 - 2y^3 + i(-2x^3 + 3x^2y + 6xy^2 - y^3)。
将 x = z/2, y = z/2i 代入，得到：
f(z) = (1 - 2i)z^3。