题目
下列陈述中,哪些是对的,哪些是错的?如果是对的,说明理由;如果是错的,试-|||-给出一个反例.-|||-(1)如果lim f(x )存在,但limg(x)不存在,那么 lim _(xarrow {x)_(0)}[ f(x)+g(x)] 不存在;-|||-(2)如果lim f(x )和lim g(x)都不存在,那么 lim _(xarrow {x)_(0)}[ f(x)+g(x)] 不存在;-|||-(3)如果lim f(x )存在,但limg(x )不存在,那么lim f(x )·g(x)不存在.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析第一陈述
根据极限的性质，如果 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$ 存在，而 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}g(x)$ 不存在，那么 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}[ f(x)+g(x)] $ 也不存在。因为如果 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}[ f(x)+g(x)] $ 存在，那么 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}g(x)=\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}[ f(x)+g(x)] -\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$ 也存在，这与已知条件矛盾。
步骤 2：分析第二陈述
如果 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$ 和 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}g(x)$ 都不存在，那么 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}[ f(x)+g(x)] $ 也可能存在。例如，取 $f(x)=\sin x$ 和 $g(x)=-\sin x$，当 $x\rightarrow 0$ 时，$\lim _{x\rightarrow 0}\sin x$ 和 $\lim _{x\rightarrow 0}-\sin x$ 都不存在，但 $\lim _{x\rightarrow 0}[\sin x+(-\sin x)]=\lim _{x\rightarrow 0}0=0$ 存在。
步骤 3：分析第三陈述
如果 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$ 存在，而 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}g(x)$ 不存在，那么 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)·g(x)$ 也可能存在。例如，取 $f(x)=x$ 和 $g(x)=\sin \dfrac {1}{x}$，当 $x\rightarrow 0$ 时，$\lim _{x\rightarrow 0}x=0$ 存在，而 $\lim _{x\rightarrow 0}\sin \dfrac {1}{x}$ 不存在，但 $\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}=0$ 存在。
根据极限的性质，如果 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$ 存在，而 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}g(x)$ 不存在，那么 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}[ f(x)+g(x)] $ 也不存在。因为如果 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}[ f(x)+g(x)] $ 存在，那么 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}g(x)=\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}[ f(x)+g(x)] -\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$ 也存在，这与已知条件矛盾。
步骤 2：分析第二陈述
如果 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$ 和 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}g(x)$ 都不存在，那么 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}[ f(x)+g(x)] $ 也可能存在。例如，取 $f(x)=\sin x$ 和 $g(x)=-\sin x$，当 $x\rightarrow 0$ 时，$\lim _{x\rightarrow 0}\sin x$ 和 $\lim _{x\rightarrow 0}-\sin x$ 都不存在，但 $\lim _{x\rightarrow 0}[\sin x+(-\sin x)]=\lim _{x\rightarrow 0}0=0$ 存在。
步骤 3：分析第三陈述
如果 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$ 存在，而 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}g(x)$ 不存在，那么 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)·g(x)$ 也可能存在。例如，取 $f(x)=x$ 和 $g(x)=\sin \dfrac {1}{x}$，当 $x\rightarrow 0$ 时，$\lim _{x\rightarrow 0}x=0$ 存在，而 $\lim _{x\rightarrow 0}\sin \dfrac {1}{x}$ 不存在，但 $\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}=0$ 存在。