已知 f(x)= ) ((cos x))^(x^-2), xneq 0 a, x=0 . 在 x=0 处连续,则 a= __ _.

考查要点：本题主要考查函数在某点连续的定义及求解复杂极限的方法，特别是处理形如$1^\infty$型极限的技巧。

解题核心思路：
根据连续性定义，函数在$x=0$处连续的条件是$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，即求$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{x^{-2}}$。
关键点在于将指数形式转换为自然对数形式，利用等价无穷小或洛必达法则求解极限。

步骤1：根据连续性定义列方程

由连续性定义，得：
$a = \lim_{x \to 0} (\cos x)^{x^{-2}}$

步骤2：转换为自然对数形式

将极限表达式改写为指数函数形式：
$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{x^{-2}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos x)}{x^2}}$

步骤3：求解指数部分的极限

计算$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos x)}{x^2}$：

1. 等价无穷小替换：当$x \to 0$时，$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$，故$\ln (\cos x) \approx -\frac{x^2}{2}$。
   代入得：
   $\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2}$

2. 洛必达法则验证：分子$\ln (\cos x) \to 0$，分母$x^2 \to 0$，应用洛必达法则：
   $\lim_{x \to 0} \frac{-\tan x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{2x} = -\frac{1}{2}$

步骤4：求最终结果

将指数部分的极限代入原式：
$a = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$