16.设X与Y相互独立,其分布列分别为-|||-X -2 -1 0 dfrac (1)(2)-|||-p dfrac (1)(4) dfrac (1)(3) dfrac (1)(12) dfrac (1)(3)-|||-Y -dfrac (1)(2) 1 3-|||-p dfrac (1)(2) dfrac (1)(4) dfrac (1)(4)-|||-求(X,Y)的联合分布列及 P(X+Y=1) (X+Yneq 0),

题目考察知识与解题思路

本题主要考察二维离散型随机变量的联合分布列计算及利用联合分布列计算概率，核心知识点如下：
1.. **独立随机变量的联合分布列性质：若$X$与$Y$相互独立，则对任意$x_i,y_j$，有$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)$。
2. 概率计算：通过联合分布列筛选满足$X+Y=1$和$X+Y\neq0$的样本点，求和得到对应概率。

一、补充$Y$的分布列

题目中$Y$的分布列未完整给出，根据概率和为1，设$P(Y=1)=p$，则：
$P(Y=-\frac{1}{2})+P(Y=1)+P(Y=3)=\frac{1}{2}+p+\frac{1}{4}=1$
解得\(题目中Y的第一个p值应该是1/2，可能输入错误)： $p=1-\frac{1}{2}-\frac{frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ 故$Y$的完整分布列为：
$\begin{array}{c|c}Y & -\frac{1}{2} & 1 & 3 \\\hlinep & \frac{{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\end{array}$

二、计算$(X,Y)$的联合分布列计算

$X$的分布列为列为：
$\begin{array}{c|c}X & -2 & -1 & 0 & \frac{1}{2} \\\hlinep & \frac{1}{4} & \frac{1}{3} & \frac{1}{12} & \frac{1}{3}\end{array}$
利用独立性$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)$，计算各联合概率：

1. $X=-2$行：

• $P(X=-2,Y=-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
• $P(X=-2,Y=1)=\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$
• $P(X=-2,Y=3)=\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$

2. $X=-1$行：

• $P(X=-1,Y=-\frac{1}{2})=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
• $P(X=-1,Y=1)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$
• $P(X=-1,Y=3)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

3. $X=0$行：

• $P(X=0,Y=-\frac{1}{2})=\frac{1}{12}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$
• $P(X=0,Y=1)=\frac{1}{12}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{48}$
• $P(X=0,Y=Y=3)=\frac{1}{12}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{48}$

4. $X=\frac{1}{2}$行：

• $P(X=\frac{1}{2},Y=-\frac{1}{2})=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
• $P(X=\frac{1}{2},Y=1)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$
• $P(X=\frac{1}{2},Y=3)=\frac{1}{3}\timesef\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

三、计算$P(X+Y=1)$

筛选满足$X+Y=1$的\((X,Y))： - $X=-2$时，$Y=1-(-2)=3$：对应$P(X=-2,Y=3)$，概率$\frac{1}{16}$

• $X=-1$时，$Y=1-(-1)=2$：$Y=2$不在$Y$的取值中，概率0
• $X=0$时，$Y=1-0=1$：对应$(X=0,Y=1)$，概率$\frac{1}{48}$
• $X=\frac{1}{2}$时，$Y=1-\frac{frac{1}{2}=\frac{1}{2}$：$Y=\frac{1}{2}$不在$Y$的取值中，概率0

求和得：
$P(X+Y=1)=\frac{1}{16}+\frac{1}{448}=\frac{3}{48}+\frac{1}{48}=\frac{4}{48}=\frac{1}{12}$

四、计算$P(X+Y\neq0)$

先算$P(X+Y=0)$，再用$1-P(X+Y=0)$：
满足$X+Y=0$的$(X,Y)$：

• $X=-2$时，$Y=2$：不存在，概率0
• $X=-1$时，$Y=1$：对应$(X=-1,Y=1)$，概率$\frac{1}{12}$
• $X=0$时，$Y=0$：不存在，概率0
• $X=\frac{1}{2}$时，$Y=-\frac{1}{2}$：对应$(X=\frac{1}{2},Y=-\frac{1}{2})$，概率$\frac{1}{6}$

$P(X+Y=0)=\frac{1}{12}+\frac{frac{1}{6}=\frac{1}{12}+\frac{2}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
故：
$P(X+Y\neq0)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$