题目

设随机变量X,Y相互独立且具有相同分布，若PX=0=PY=0=(1)/(3),PX=1=PY=1=(2)/(3),则有（）.A PX=Y=(1)/(3)B PX+Y=1=(4)/(9)C PX=Y=1D PXY=1=(1)/(9)

设随机变量X,Y 相互独立且具有相同分布，若 $P\{X=0\}=P\{Y=0\}=\frac{1}{3}$, $P\{X=1\}=P\{Y=1\}=\frac{2}{3}$,则有（）. A $P\{X=Y\}=\frac{1}{3}$ B $P\{X+Y=1\}=\frac{4}{9}$ C $P\{X=Y\}=1$ D $P\{XY=1\}=\frac{1}{9}$

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要计算给定随机变量 $X$ 和 $Y$ 的概率。让我们一步步地分析每个选项。

选项 A: $P\{X=Y\}=\frac{1}{3}$

要找到 $P\{X=Y\}$，我们需要考虑 $X$ 和 $Y$ 可以取相同值的情况。有两种可能的情况：

  1. $X = 0$ 和 $Y = 0$
  2. $X = 1$ 和 $Y = 1$

由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，我们有：
$P\{X=0, Y=0\} = P\{X=0\} \cdot P\{Y=0\} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
$P\{X=1, Y=1\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

将这些概率相加，我们得到：
$P\{X=Y\} = P\{X=0, Y=0\} + P\{X=1, Y=1\} = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

因此，选项 A 是不正确的。

选项 B: $P\{X+Y=1\}=\frac{4}{9}$

要找到 $P\{X+Y=1\}$，我们需要考虑 $X$ 和 $Y$ 的和为 1 的情况。有两种可能的情况：

  1. $X = 0$ 和 $Y = 1$
  2. $X = 1$ 和 $Y = 0$

由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，我们有：
$P\{X=0, Y=1\} = P\{X=0\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$
$P\{X=1, Y=0\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=0\} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$

将这些概率相加，我们得到：
$P\{X+Y=1\} = P\{X=0, Y=1\} + P\{X=1, Y=0\} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$

因此，选项 B 是正确的。

选项 C: $P\{X=Y\}=1$

我们已经计算出 $P\{X=Y\} = \frac{5}{9}$，这不等于 1。因此，选项 C 是不正确的。

选项 D: $P\{XY=1\}=\frac{1}{9}$

要找到 $P\{XY=1\}$，我们需要考虑 $X$ 和 $Y$ 的乘积为 1 的情况。唯一可能的情况是：

  1. $X = 1$ 和 $Y = 1$

由于 $X$ 和 $Y$ 是独立的，我们有：
$P\{X=1, Y=1\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

因此，选项 D 是不正确的。

结论

正确的选项是 $\boxed{B}$。

解析

本题考查相互独立随机变量的概率计算。解题思路是根据随机变量$X$和$Y$相互独立的性质，即若$X$和$Y$相互独立，则$P\{X = i, Y = j\} = P\{X = i\} \cdot P\{Y = j\}$（$i,j$为$X$和$Y$可能取值），分别计算每个选项所涉及的概率。

选项A

要计算$P\{X = Y\}$，需考虑$X$和$Y$取值相同的情况，即$X = 0$且$Y = 0$以及$X = 1$且$Y = 1$这两种情况。

  • 因为$X$和$Y$相互独立，所以$P\{X = 0, Y = 0\} = P\{X = 0\} \cdot P\{Y = 0\}$，已知$P\{X = 0\} = P\{Y = 0\} = \frac{1}{3}$，则$P\{X = 0, Y = 0\} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。
  • 同理，$P\{X = 1, Y = 1\} = P\{X = 1\} \cdot P\{Y = 1\}$，已知$P\{X = 1\} = P\{Y = 1\} = \frac{2}{3}$，则$P\{X = 1, Y = 1\} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$。
  • 那么$P\{X = Y\} = P\{X = 0, Y = 0\} + P\{X = 1, Y = 1\} = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\neq\frac{1}{3}$，所以选项A错误。

选项B

要计算$P\{X + Y = 1\}$，需考虑$X$和$Y$取值之和为$1$的情况，即$X = 0$且$Y = 1$以及$X = 1$且$Y = 0$这两种情况。

  • 因为$X$和$Y$相互独立，所以$P\{X = 0, Y = 1\} = P\{X = 0\} \cdot P\{Y = 1\}$，已知$P\{X = 0\} = \frac{1}{3}$，$P\{Y = 1\} = \frac{2}{3}$，则$P\{X = 0, Y = 1\} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$。
  • 同理，$P\{X = 1, Y = 0\} = P\{X = 1\} \cdot P\{Y = 0\}$，已知$P\{X = 1\} = \frac{2}{3}$，$P\{Y = 0\} = \frac{1}{3}$，则$P\{X = 1, Y = 0\} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$。
  • 那么$P\{X + Y = 1\} = P\{X = 0, Y = 1\} + P\{X = 1, Y = 0\} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$，所以选项B正确。

选项C

由选项A的计算可知$P\{X = Y\} = \frac{5}{9}\neq1$，所以选项C错误。

选项D

要计算$P\{XY = 1\}$，需考虑$X$和$Y$取值之积为$1$的情况，即$X = 1$且$Y = 1$这一种情况。

  • 因为$X$和$Y$相互独立，所以$P\{X = 1, Y = 1\} = P\{X = 1\} \cdot P\{Y = 1\}$，已知$P\{X = 1\} = P\{Y = 1\} = \frac{2}{3}$，则$P\{X = 1, Y = 1\} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}\neq\frac{1}{9}$，所以选项D错误。