题目

1.16 已知矢量E=e_(x)(x^2+axz)+e_(y)(xy^2+by)+e_(z)(z-z^2+czx-2xyz)，试确定常数a、b、c使E为无源场。

1.16 已知矢量$E=e_{x}(x^{2}+axz)+e_{y}(xy^{2}+by)+e_{z}(z-z^{2}+czx-2xyz)$，试确定常数a、b、c使E为无源场。

题目解答

答案

计算矢量场 $E$ 的散度： \[ \nabla \cdot E = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + axz) + \frac{\partial}{\partial y}(xy^2 + by) + \frac{\partial}{\partial z}(z - z^2 + czx - 2xyz) \] 化简得： \[ \nabla \cdot E = (2x + az) + (2xy + b) + (1 - 2z + cx - 2xy) = (2 + c)x + (a - 2)z + b + 1 \] 令散度恒为零，得方程组： \[ \begin{cases} 2 + c = 0 \\ a - 2 = 0 \\ b + 1 = 0 \end{cases} \] 解得： \[ \boxed{a = 2, b = -1, c = -2} \]

解析

考查要点：本题主要考查矢量场的散度计算及无源场的条件。
解题核心思路：无源场要求散度恒为零，因此需计算矢量场$E$的散度，令其所有系数为零，解出未知常数。
破题关键点：

  1. 正确计算各分量的偏导数，注意混合项的求导规则；
  2. 合并同类项后，令多项式中各变量的系数及常数项均为零，建立方程组；
  3. 解方程组确定$a$、$b$、$c$的值。

1. 计算散度$\nabla \cdot E$

矢量场$E$的散度为：
$\nabla \cdot E = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + axz) + \frac{\partial}{\partial y}(xy^2 + by) + \frac{\partial}{\partial z}(z - z^2 + czx - 2xyz)$

分步计算偏导数：

  1. $e_x$分量对$x$的偏导：
    $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + axz) = 2x + az$

  2. $e_y$分量对$y$的偏导：
    $\frac{\partial}{\partial y}(xy^2 + by) = 2xy + b$

  3. $e_z$分量对$z$的偏导：
    $\frac{\partial}{\partial z}(z - z^2 + czx - 2xyz) = 1 - 2z + cx - 2xy$

2. 合并所有项

将偏导数相加：
$\nabla \cdot E = (2x + az) + (2xy + b) + (1 - 2z + cx - 2xy)$
合并同类项：

  • $x$项：$2x + cx = (2 + c)x$
  • $z$项：$az - 2z = (a - 2)z$
  • $xy$项：$2xy - 2xy = 0$（抵消）
  • 常数项：$b + 1$

最终表达式为：
$\nabla \cdot E = (2 + c)x + (a - 2)z + (b + 1)$

3. 令散度恒为零

多项式恒为零的条件是所有系数及常数项均为零：
$\begin{cases}2 + c = 0 \\a - 2 = 0 \\b + 1 = 0\end{cases}$

4. 解方程组

解得：
$a = 2, \quad b = -1, \quad c = -2$