题目
::00:55:45 dfrac (16)(122)-|||-lim _(xarrow {1)^+}dfrac (ln (2x-1))(x-1)-|||-(请在答题纸上手写并拍照上传)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定极限类型
给定的极限是 $\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {\ln (2x-1)}{x-1}$，当 $x$ 趋近于 $1^+$ 时，分子 $\ln (2x-1)$ 趋近于 $\ln (2\cdot 1-1) = \ln 1 = 0$，分母 $x-1$ 也趋近于 $0$。因此，这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的极限，可以使用洛必达法则来解决。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的极限，且 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $a$ 的某个邻域内可导，$g'(x) \neq 0$，则 $\lim _{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在或为无穷大。因此，我们对分子和分母分别求导：
$$
\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {\ln (2x-1)}{x-1} = \lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {\frac{d}{dx}[\ln (2x-1)]}{\frac{d}{dx}[x-1]} = \lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {\frac{2}{2x-1}}{1} = \lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {2}{2x-1}
$$
步骤 3：计算极限
现在，我们计算 $\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {2}{2x-1}$。当 $x$ 趋近于 $1^+$ 时，$2x-1$ 趋近于 $1$，因此：
$$
\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {2}{2x-1} = \dfrac {2}{1} = 2
$$
给定的极限是 $\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {\ln (2x-1)}{x-1}$，当 $x$ 趋近于 $1^+$ 时，分子 $\ln (2x-1)$ 趋近于 $\ln (2\cdot 1-1) = \ln 1 = 0$，分母 $x-1$ 也趋近于 $0$。因此，这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的极限，可以使用洛必达法则来解决。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的极限，且 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $a$ 的某个邻域内可导，$g'(x) \neq 0$，则 $\lim _{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在或为无穷大。因此，我们对分子和分母分别求导：
$$
\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {\ln (2x-1)}{x-1} = \lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {\frac{d}{dx}[\ln (2x-1)]}{\frac{d}{dx}[x-1]} = \lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {\frac{2}{2x-1}}{1} = \lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {2}{2x-1}
$$
步骤 3：计算极限
现在，我们计算 $\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {2}{2x-1}$。当 $x$ 趋近于 $1^+$ 时，$2x-1$ 趋近于 $1$，因此：
$$
\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {2}{2x-1} = \dfrac {2}{1} = 2
$$