题目
1.设 _(0)gt 0 gt 0 . _(n)=dfrac (1)(2)((x)_(n-1)+dfrac ({a)^2}({x)_(n-1)}) n=1,2,···, 证明数列(xn)极限存在,并求极限值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明数列{xn}有下界
由 ${x}_{n}=\dfrac {1}{2}({x}_{n-1}+\dfrac {{a}^{2}}{{x}_{n-1}})$，根据算术平均数大于等于几何平均数的性质，我们有：
${x}_{n}=\dfrac {1}{2}({x}_{n-1}+\dfrac {{a}^{2}}{{x}_{n-1}})\geqslant \sqrt{{x}_{n-1}\cdot\dfrac{{a}^{2}}{{x}_{n-1}}} = a$
因此，数列{xn}有下界a。
步骤 2：证明数列{xn}单调减少
考虑数列相邻两项的比值：
$\dfrac{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}=\dfrac{1}{2}(1+\dfrac{{a}^{2}}{{{x}_{n-1}}^{2}})$
由于 ${x}_{n-1}\geqslant a$，则 $\dfrac{{a}^{2}}{{{x}_{n-1}}^{2}}\leqslant 1$，因此：
$\dfrac{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}\leqslant \dfrac{1}{2}(1+1)=1$
所以，数列{xn}单调减少。
步骤 3：求极限值
由于数列{xn}有下界且单调减少，根据单调有界原理，数列{xn}极限存在。设 $\lim _{n\rightarrow \infty }{x}_{n}=x$，则有：
$x=\dfrac {1}{2}(x+\dfrac {{a}^{2}}{x})$
解得 $x=a$。
由 ${x}_{n}=\dfrac {1}{2}({x}_{n-1}+\dfrac {{a}^{2}}{{x}_{n-1}})$，根据算术平均数大于等于几何平均数的性质，我们有：
${x}_{n}=\dfrac {1}{2}({x}_{n-1}+\dfrac {{a}^{2}}{{x}_{n-1}})\geqslant \sqrt{{x}_{n-1}\cdot\dfrac{{a}^{2}}{{x}_{n-1}}} = a$
因此，数列{xn}有下界a。
步骤 2：证明数列{xn}单调减少
考虑数列相邻两项的比值：
$\dfrac{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}=\dfrac{1}{2}(1+\dfrac{{a}^{2}}{{{x}_{n-1}}^{2}})$
由于 ${x}_{n-1}\geqslant a$，则 $\dfrac{{a}^{2}}{{{x}_{n-1}}^{2}}\leqslant 1$，因此：
$\dfrac{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}\leqslant \dfrac{1}{2}(1+1)=1$
所以，数列{xn}单调减少。
步骤 3：求极限值
由于数列{xn}有下界且单调减少，根据单调有界原理，数列{xn}极限存在。设 $\lim _{n\rightarrow \infty }{x}_{n}=x$，则有：
$x=\dfrac {1}{2}(x+\dfrac {{a}^{2}}{x})$
解得 $x=a$。