设 f(x) 在 (-1,1) 内可导，且 lim_(x to 0) (f(x))/(x^2) = 1，则()(A) lim_(x to 0) (f'(x))/(x) 存在(B) lim_(x to 0) (f'(x))/(x) 不存在(C) f'(0) = 0, f''(0) = 2(D) f(0) 是 f(x) 的极小值

我们来逐项分析这道题，给出详细的解题过程和答案。

已知条件：

• 函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-1, 1) $ 内可导；
• 且有极限：
  $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 1$

第一步：从极限条件分析 $ f(x) $ 的性质

我们已知：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 1$

这意味着当 $ x \to 0 $ 时，$ f(x) $ 与 $ x^2 $ 是同阶无穷小，而且极限为 1，说明：
$f(x) \sim x^2 \quad \text{当 } x \to 0$

也就是说，我们可以写出：
$f(x) = x^2 + o(x^2) \quad \text{当 } x \to 0$

第二步：利用导数定义求 $ f'(0) $

由于 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处可导，我们可以用导数定义来求 $ f'(0) $：

$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$

但我们不知道 $ f(0) $ 的值。不过从极限条件 $ \frac{f(x)}{x^2} \to 1 $，我们可以推断出：
$f(x) \to 0 \quad \text{当 } x \to 0$
因为 $ x^2 \to 0 $，而极限是有限值 1，所以 $ f(x) \to 0 $。

因此，$ f(0) = 0 $。

代入导数定义：
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x^2} \cdot x \right) = \lim_{x \to 0} (1 \cdot x) = 0$

所以：
$f'(0) = 0$

第三步：求 $ f''(0) $

我们已经知道：
$f(x) = x^2 + o(x^2)$

对它求导：
$f'(x) = 2x + o(x)$

再对 $ f'(x) $ 求导：
$f''(x) = 2 + o(1) \Rightarrow f''(0) = 2$

第四步：分析选项

我们来逐个看选项：

(A) $ \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x} $ 存在

我们已知：
$f'(x) = 2x + o(x) \Rightarrow \frac{f'(x)}{x} = 2 + o(1) \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x} = 2$

所以这个极限存在，(A) 是 正确 的。

(B) $ \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x} $ 不存在

与上面矛盾，所以 (B) 是 错误 的。

(C) $ f'(0) = 0, f''(0) = 2 $

我们已经推导出：

• $ f'(0) = 0 $
• $ f''(0) = 2 $

所以 (C) 是 正确 的。

(D) $ f(0) $ 是 $ f(x) $ 的极小值

我们已经知道：

• $ f(x) \sim x^2 $，所以 $ f(x) \ge 0 $ 附近；
• $ f(0) = 0 $

所以 $ f(0) $ 是极小值。

因此，(D) 是 正确 的。

最终结论：

正确选项是：

$\boxed{\text{(A)、(C)、(D)}}$