题目
2.设三阶方阵A有三个不同的特征值，且其中两个特征值分别为-2,3,又已知|A|=48,则A的第三个特征值为_____.
2.设三阶方阵A有三个不同的特征值，且其中两个特征值分别为-2,3,又已知$|A|=48$,则A的第三
个特征值为_____.
题目解答
答案
设三阶方阵 $ A $ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，已知 $\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = 3$，且 $|A| = 48$。
由矩阵行列式等于特征值乘积的性质，有：
\[
|A| = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = (-2) \times 3 \times \lambda_3 = 48
\]
解得：
\[
\lambda_3 = \frac{48}{-6} = -8
\]
因此，第三个特征值为 $\boxed{-8}$。
解析
步骤 1：确定特征值乘积与行列式的关系
根据矩阵行列式的性质，一个矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积。对于三阶方阵 $A$，其行列式 $|A|$ 可以表示为 $|A| = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3$，其中 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $A$ 的特征值。
步骤 2：代入已知的特征值和行列式值
已知 $A$ 的两个特征值为 $\lambda_1 = -2$ 和 $\lambda_2 = 3$，且 $|A| = 48$。将这些值代入行列式等于特征值乘积的公式中，得到 $48 = (-2) \times 3 \times \lambda_3$。
步骤 3：求解第三个特征值
解方程 $48 = (-2) \times 3 \times \lambda_3$，得到 $\lambda_3 = \frac{48}{-6} = -8$。
根据矩阵行列式的性质，一个矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积。对于三阶方阵 $A$，其行列式 $|A|$ 可以表示为 $|A| = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3$，其中 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $A$ 的特征值。
步骤 2：代入已知的特征值和行列式值
已知 $A$ 的两个特征值为 $\lambda_1 = -2$ 和 $\lambda_2 = 3$，且 $|A| = 48$。将这些值代入行列式等于特征值乘积的公式中，得到 $48 = (-2) \times 3 \times \lambda_3$。
步骤 3：求解第三个特征值
解方程 $48 = (-2) \times 3 \times \lambda_3$，得到 $\lambda_3 = \frac{48}{-6} = -8$。