题目

5.lim _(narrow infty )((dfrac {2n-3)(2n+1))}^n

$5.\lim_{n\to\infty}(\frac{2n-3}{2n+1})^n.$

题目解答

答案

解答过程如下：

$\begin{gathered} 原式=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{-4}{2n+1})^{n} \\ =\lim_{n\to\infty}(1+\frac{-4}{2n+1})^{{\frac{2n+1}{-4}}\cdot\frac{-4n}{2n+1} } \end{gathered}$

$\begin{aligned}&=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{-4n}{2n+1}}=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{-4}{2+\frac{1}{n}}}\\&=e^{-2}\end{aligned}$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是涉及指数形式的极限处理方法，需要熟练运用自然对数的极限性质或已知的极限公式。

解题核心思路：
将分式$\dfrac{2n-3}{2n+1}$变形为$1 - \dfrac{4}{2n+1}$，转化为类似于$\left(1 + \dfrac{a}{n}\right)^n$的形式，利用极限$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{a}{n}\right)^n = e^a$求解。关键在于通过变形和近似，将原式与自然指数$e$的表达式关联。

破题关键点：

分式变形：将分子分母展开，分离出常数项，构造出$1 + \text{小量}$的形式。
自然对数转换：通过取对数将指数运算转化为乘法，简化极限计算。
泰勒展开或近似：对$\ln(1 - x)$进行泰勒展开，忽略高阶无穷小，简化表达式。

步骤1：分式变形
将原式中的分式$\dfrac{2n-3}{2n+1}$变形为：
$\dfrac{2n-3}{2n+1} = 1 - \dfrac{4}{2n+1}.$

步骤2：取自然对数
设原式为$L$，则：
$\ln L = \lim_{n \to \infty} n \cdot \ln\left(1 - \dfrac{4}{2n+1}\right).$

步骤3：泰勒展开近似
当$n$很大时，$\dfrac{4}{2n+1}$趋近于$0$，利用$\ln(1 - x) \approx -x$（忽略高阶小项）：
$\ln L \approx \lim_{n \to \infty} n \cdot \left(-\dfrac{4}{2n+1}\right).$

步骤4：化简极限表达式
将分母$2n+1$近似为$2n$（当$n$趋近于无穷大时误差可忽略）：
$\ln L \approx \lim_{n \to \infty} -\dfrac{4n}{2n} = -2.$

步骤5：求指数还原结果
对$\ln L = -2$取指数得：
$L = e^{-2}.$