判断题（共10题，20.0分）26.（2.0分）作简谐振动系统的动能、势能、总能量都是随时间周期性变化的。（2.0）A 对B 错

本题考查简谐振动系统中中动能、势能和总能量随时间的变化规律。解题思路是分别分析简谐振动系统的动能、势能和总能量的表达式，根据表达式判断其是否随时间周期性变化。

1. 简谐振动系统的动能分析

设简谐振动的位移表达式为$x = A\cos(\omega t + \varphi)$，其中$A$为振幅，$\omega$为角频率，$\varphi$为初相位。
速度$v$是位移对时间的导数，根据求导公式$(\cos u)^\prime=-\sin$可得：
$v=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t + + \varphi)$
动能$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$，将$v$代入可得：
$E_{k}=\frac{1}{2}m(-A\omega\sin(\omega t + \varphi))^{2}=\frac{m\omega^{2}A^{2}\sin^{2}(\omega t + \varphi)}$
根据三角函数的二倍角公式\\(\sin^{2}\alpha=\frac{1 - \cos2\alpha}{2})\)，可得：
$E_{k}=\frac{12m\omega^{2}A^{2}(1 - \cos(2\omega t + 2\varphi))$
由此可知，动能$E_{k}$随时间$t$做周期性变化。

2. 简谐振动系统的势能分析

简谐振动系统的势能$E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}$，将$x = A\cos(\omega t + \varphi)$代入可得：
$E_{p}=\frac{1}{2}k(A\cos(\omega t + \varphi))^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}(\omega t + \varphi)$
根据三角函数的二倍角公式$\cos^{2}\alpha=\frac{1 + \cos2\alpha}{2}$，可得：
$结果)\(E_{p}=\frac{1}{4}kA^{2}(1 + \cos(2\omega t + 2\varphi))$
由此，势能$E_{p}$随时间$t$做周期性变化。

3. 简谐振动系统的总能量分析

总能量$E = E_{k}+E_{p}$，将$E_{k}$和$E_{p}$的表达式代入可得：
$\begin{align*}E&=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}(1 - \cos(2\omega t + 2\varphi))+\frac{1}{4}kA^{2}(1 + \cos(2\omega t + 2\varphi))\\&=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}-\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}\cos(2\omega t + 2\varphi)+\frac{1}{4}kA^{2}+\frac{1}{4}kA^{2}\cos(2\omega t + 2\varphi)\end{align*}$
因为在简谐振动中$k = m\omega^{2}$，所以上式可化简为：
$E=\frac{1}{2}m\omega^{2}A^{2}$
总能量$E$是一个常量，不随时间$t$变化。

综上，作简谐振动系统的动能、势能随时间周期性变化，但总能量不随时间变化，所以该说法错误。