题目
二维离散型随机变量 (X,Y) 的分布律为 [ (X,Y)& (1,2)& (1,3)& (0,1)& (0,2) P & 0.3 & 0.1 & 0.2 & 0.4 ] 则 E(X+Y)=A. 1.9B. 0.4C. 2.3D. 1.5
二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的分布律为
$\begin{array}{c|cccc} (X,Y)& (1,2)& (1,3)& (0,1)& (0,2)\\ \hline P & 0.3 & 0.1 & 0.2 & 0.4 \end{array}$
则 $E(X+Y)=$
A. 1.9
B. 0.4
C. 2.3
D. 1.5
题目解答
答案
C. 2.3
解析
步骤 1：计算 $E(X)$
根据分布律，我们可以得到 $X$ 的边缘分布：
\[ P(X=1) = P((X,Y)=(1,2)) + P((X,Y)=(1,3)) = 0.3 + 0.1 = 0.4 \]
\[ P(X=0) = P((X,Y)=(0,1)) + P((X,Y)=(0,2)) = 0.2 + 0.4 = 0.6 \]
因此， $E(X)$ 为：
\[ E(X) = 1 \cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0) = 1 \cdot 0.4 + 0 \cdot 0.6 = 0.4 \]
步骤 2：计算 $E(Y)$
根据分布律，我们可以得到 $Y$ 的边缘分布：
\[ P(Y=2) = P((X,Y)=(1,2)) + P((X,Y)=(0,2)) = 0.3 + 0.4 = 0.7 \]
\[ P(Y=3) = P((X,Y)=(1,3)) = 0.1 \]
\[ P(Y=1) = P((X,Y)=(0,1)) = 0.2 \]
因此， $E(Y)$ 为：
\[ E(Y) = 2 \cdot P(Y=2) + 3 \cdot P(Y=3) + 1 \cdot P(Y=1) = 2 \cdot 0.7 + 3 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.2 = 1.4 + 0.3 + 0.2 = 1.9 \]
步骤 3：计算 $E(X+Y)$
\[ E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 0.4 + 1.9 = 2.3 \]
根据分布律，我们可以得到 $X$ 的边缘分布：
\[ P(X=1) = P((X,Y)=(1,2)) + P((X,Y)=(1,3)) = 0.3 + 0.1 = 0.4 \]
\[ P(X=0) = P((X,Y)=(0,1)) + P((X,Y)=(0,2)) = 0.2 + 0.4 = 0.6 \]
因此， $E(X)$ 为：
\[ E(X) = 1 \cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0) = 1 \cdot 0.4 + 0 \cdot 0.6 = 0.4 \]
步骤 2：计算 $E(Y)$
根据分布律，我们可以得到 $Y$ 的边缘分布：
\[ P(Y=2) = P((X,Y)=(1,2)) + P((X,Y)=(0,2)) = 0.3 + 0.4 = 0.7 \]
\[ P(Y=3) = P((X,Y)=(1,3)) = 0.1 \]
\[ P(Y=1) = P((X,Y)=(0,1)) = 0.2 \]
因此， $E(Y)$ 为：
\[ E(Y) = 2 \cdot P(Y=2) + 3 \cdot P(Y=3) + 1 \cdot P(Y=1) = 2 \cdot 0.7 + 3 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.2 = 1.4 + 0.3 + 0.2 = 1.9 \]
步骤 3：计算 $E(X+Y)$
\[ E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 0.4 + 1.9 = 2.3 \]