证明级数dfrac (2)(1times 2)+dfrac ({2)^2}(2times 3)+dfrac ({2)^3}(3times 4)+... 发散

步骤 1：定义级数
级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{2}^{n}}{n(n+1)}$，其中${u}_{n}=\dfrac {{2}^{n}}{n(n+1)}$。
步骤 2：应用Cauchy判别法
Cauchy判别法指出，如果$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{{u}_{n}}\gt 1$，则级数发散。
步骤 3：计算$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{{u}_{n}}$
$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{{u}_{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [\dfrac {{2}^{n}}{n(n+1)}$ $n\rightarrow \infty $
$=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2}{\sqrt [n]{n(n+1)}}$
$=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2}{\sqrt [n]{n^2+n}}$
$=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2}{\sqrt [n]{n^2(1+\dfrac {1}{n})}}$
$=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2}{n\sqrt [n]{1+\dfrac {1}{n}}}$
$=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2}{n}$
$=2\gt 1$
步骤 4：结论
由于$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{{u}_{n}}=2\gt 1$，根据Cauchy判别法，级数发散。