题目
6.计算二重积分iintlimits_(D){}dxdy，其中D是由y=x，y=2x，y=1所围成的闭区域。
6.计算二重积分$\iint\limits_{D}{}dxdy$，其中D是由y=x，y=2x，y=1所围成的闭区域。
题目解答
答案
将积分区域 $D$ 表示为 $0 \leq y \leq 1$，$\frac{y}{2} \leq x \leq y$，则二重积分为：
\[
\iint\limits_{D} dxdy = \int_{0}^{1} \int_{\frac{y}{2}}^{y} dxdy = \int_{0}^{1} \left( y - \frac{y}{2} \right) dy = \int_{0}^{1} \frac{y}{2} dy = \left[ \frac{y^2}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}
\]
或者，将区域分为两部分：
1. $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$，$x \leq y \leq 2x$；
2. $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$，$x \leq y \leq 1$。
计算结果均为 $\boxed{\frac{1}{4}}$。
解析
步骤 1：确定积分区域
根据题目，积分区域 $D$ 是由 $y=x$，$y=2x$，$y=1$ 所围成的闭区域。首先，我们确定 $D$ 的边界。$y=x$ 和 $y=2x$ 是两条直线，$y=1$ 是一条水平线。$y=x$ 和 $y=2x$ 在 $x=0$ 处相交，$y=1$ 与 $y=x$ 相交于 $(1,1)$，与 $y=2x$ 相交于 $(\frac{1}{2},1)$。因此，$D$ 的边界是 $0 \leq y \leq 1$，$\frac{y}{2} \leq x \leq y$。
步骤 2：设置二重积分
根据步骤 1 的分析，二重积分可以表示为：\[ \iint\limits_{D} dxdy = \int_{0}^{1} \int_{\frac{y}{2}}^{y} dxdy \]
步骤 3：计算二重积分
计算内层积分：\[ \int_{\frac{y}{2}}^{y} dxdy = \left[ x \right]_{\frac{y}{2}}^{y} = y - \frac{y}{2} = \frac{y}{2} \]
计算外层积分：\[ \int_{0}^{1} \frac{y}{2} dy = \left[ \frac{y^2}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \]
根据题目，积分区域 $D$ 是由 $y=x$，$y=2x$，$y=1$ 所围成的闭区域。首先，我们确定 $D$ 的边界。$y=x$ 和 $y=2x$ 是两条直线，$y=1$ 是一条水平线。$y=x$ 和 $y=2x$ 在 $x=0$ 处相交，$y=1$ 与 $y=x$ 相交于 $(1,1)$，与 $y=2x$ 相交于 $(\frac{1}{2},1)$。因此，$D$ 的边界是 $0 \leq y \leq 1$，$\frac{y}{2} \leq x \leq y$。
步骤 2：设置二重积分
根据步骤 1 的分析，二重积分可以表示为：\[ \iint\limits_{D} dxdy = \int_{0}^{1} \int_{\frac{y}{2}}^{y} dxdy \]
步骤 3：计算二重积分
计算内层积分：\[ \int_{\frac{y}{2}}^{y} dxdy = \left[ x \right]_{\frac{y}{2}}^{y} = y - \frac{y}{2} = \frac{y}{2} \]
计算外层积分：\[ \int_{0}^{1} \frac{y}{2} dy = \left[ \frac{y^2}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \]