设 L 是 y = sqrt(a^2 - x^2) (|x| leq a)，则曲线积分 int_(L) (x^3 + y^3), ds= ()A. (4)/(3) a^2B. (4)/(3) a^4C. (4)/(3) a^3D. (4)/(3) a

本题考查对弧长的曲线积分的计算，解题思路是先将曲线方程化为参数方程，再根据曲线积分与路径参数的关系将曲线积分转化为定积分进行计算。

1. 将曲线$L$化为参数方程：
   已知曲线$L$的方程为$y = \sqrt{a^2 - x^2}$（$\vert x\vert\leq a$），它表示的是以原点$(0,0)$为圆心，$a$为半径的上半圆。
   令$x = a\cos t$，$y = a\sin t$，因为是上半圆，所以$t$的取值范围是$[0, \pi]$。
2. 计算弧长元素$ds$：
   根据弧长元素公式$ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt$，对$x = a\cos t$求导得$\frac{dx}{dt} = -a\sin t$，对$y = a\sin t$求导得$\frac{dy}{dt} = a\cos t$。
   将其代入弧长元素公式可得：
   $\begin{align*}ds&=\sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2}dt\\&=\sqrt{a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t}dt\\&=\sqrt{a^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}dt\end{align*}$
   根据三角函数的平方关系$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，则$ds = \sqrt{a^2\times1}dt = a dt$。
3. 将曲线积分转化为定积分：
   将$x = a\cos t$，$y = a\sin t$，$ds = a dt$代入曲线积分$\int_{L} (x^3 + y^3)ds$中，可得：
   $\begin{align*}\int_{L} (x^3 + y^3)ds&=\int_{0}^{\pi} ((a\cos t)^3 + (a\sin t)^3)a dt\\&=a^4\int_{0}^{\pi} (\cos\cos^3 t + \sin^3 t) dt\\&=a^4\left(\int_{0}^{\pi} \cos^3 t dt + \int_{0}^{\pi} \sin^3 t dt\right)\end{align*}$
4. 分别计算定积分$\int_{0}^{\pi} \cos^3 t dt$和$\int_{0}^{\pi} \sin^3 t dt$：
   • 计算$\int_{0}^{\pi} \cos^3 t dt$：
     $\int_{0}^{\pi} \cos^3 t dt = \int_{0}^{\pi} \cos^2 t\cdot\cos t dt = \int_{0}^{\pi} (1 - \sin^2 t)\cos t dt$
     令$u = \sin t$，则$du = \cos t dt$。当$t = 0$时，$u = \sin 0 = 0$；当$t = \pi$时，$u = \sin \pi = 0$。
     所以$\int_{0}^{\pi} (1 - \sin^2 t)\cos t dt = \int_{0}^{0} (1 - u^2)du = 0$。
   • 计算$\int_{0}^{\pi} \sin^3 t dt$：
     $\int_{0}^{\pi} \sin^3 t dt = \int_{0}^{\pi} \sin^2 t\cdot\sin t dt = \_{0}^{\pi} (1 - \cos^2 t)\sin t dt$
     令$v = \cos t$，则则$dv = -\sin t dt$。当$t = 0$时，$v = \cos 0 = 1$；当$t = \pi$时，$v = \cos \pi = -1$。
     所以$\int_{0}^{\pi} (1 - \cos^2 t)\sin t dt = -\int_{1}^{-1} (1 - v^2)dv = \int_{-1}^{1} (1 - v^2)dv$
     根据定积分的性质$\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx$（$f(x)$为偶函数），因为$f(v) = 1 - v^2$是偶函数，所以$\int_{-1}^{1} (1 - v^2)dv = 2\int_{0}^{1} (1 - v^2)dv$。
     计算$2\int_{0}^{1} (1 - v^2)dv = 2\left(v - \frac{1}{3}v^3\right)\big|_{0}^{1} = 2\times\left(1 - \frac{1}{3}\times1^3 - 0 + 0\right) = \frac{4}{3}$。
5. 计算最终结果：
   将$\int_{0}^{\pi} \cos^3 t dt = 0$和$\int_{0}^{\pi} \sin^3 t dt = \frac{4}{3}$代入$a^4\left(\int_{0}^{\pi} \cos^3 t dt + \int_{0}^{\pi} \sin^3 t dt\right)$中，可得：
   $a^4\left(0 + \frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}a^4$