题目

设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1.试证：必存在ξ∈(0,3)，使f′(ξ)=0..

设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1.

试证：必存在ξ∈(0,3)，使f′(ξ)=0.

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题目解答

答案


因为f(x)在[0,3]上连续，

所以f(x)在[0,2]上连续，且在[0,2]上必有最大值M和最小值m，

于是：m⩽f(0)⩽M，m⩽f(1)⩽M，m⩽f(2)⩽M，

故：m⩽f(0)+f(1)+f(2)3⩽M，

由介值定理知，至少存在一点c∈[0,2]，使得：

f(c)=f(0)+f(1)+f(2)3=1，

又由：f(c)=1=f(3)，且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，满足罗尔定理的条件，

故：必存在ξ∈(c,3)⊂(0,3)，使f′(ξ)=0.

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解析

考查要点：本题主要考查介值定理和罗尔定理的综合应用，需要学生理解连续函数的性质及导数为零点的存在条件。

解题核心思路：

  1. 构造中间点：利用已知条件$f(0)+f(1)+f(2)=3$，结合介值定理，证明存在一点$c \in [0,2]$，使得$f(c)=1$。
  2. 应用罗尔定理：通过比较$f(c)$与$f(3)$的值，找到满足罗尔定理条件的区间，从而保证导数为零的点存在。

破题关键点：

  • 极值定理保证$f(x)$在$[0,2]$上存在最大值$M$和最小值$m$，从而推导出平均值$1$必然落在$[m, M]$范围内。
  • 介值定理确保存在$c \in [0,2]$使得$f(c)=1$，进而与$f(3)=1$构成罗尔定理的应用条件。

步骤1：确定$f(x)$在$[0,2]$上的极值
由于$f(x)$在$[0,3]$上连续，根据极值定理，$f(x)$在闭区间$[0,2]$上必有最大值$M$和最小值$m$，即：
$m \leq f(0), f(1), f(2) \leq M.$

步骤2：分析平均值的范围
已知$f(0)+f(1)+f(2)=3$，取平均值得：
$\frac{f(0)+f(1)+f(2)}{3} = 1.$
由于每个$f(0), f(1), f(2)$均在$[m, M]$内，故平均值$1$也必然满足：
$m \leq 1 \leq M.$

步骤3：应用介值定理
根据介值定理，至少存在一点$c \in [0,2]$，使得：
$f(c) = 1.$

步骤4：应用罗尔定理
注意到$f(c)=1$且$f(3)=1$，函数$f(x)$在闭区间$[c,3]$上连续，在开区间$(c,3)$内可导，且$f(c)=f(3)$。根据罗尔定理，存在$\xi \in (c,3) \subset (0,3)$，使得：
$f'(\xi) = 0.$