4.试证下列函数在z平面上任何点都不解析:-|||-(1)|z|;-|||-(2) x+y ;-|||-(3) Re z;-|||-(4) dfrac (1)(2) -

步骤 1：定义解析函数
解析函数是指在复平面上某一点的邻域内，函数可以展开成幂级数，且该幂级数在该邻域内收敛。解析函数满足柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）。

步骤 2：验证函数(1) |z|
设 $z = x + iy$，则 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$。令 $u(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$，$v(x,y) = 0$。计算偏导数：
$$
u_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad u_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \quad v_x = 0, \quad v_y = 0
$$
显然，$u_x \neq v_y$，$u_y \neq -v_x$，因此不满足柯西-黎曼方程，函数(1)在任何点都不解析。

步骤 3：验证函数(2) x + y
设 $z = x + iy$，则 $x + y$。令 $u(x,y) = x + y$，$v(x,y) = 0$。计算偏导数：
$$
u_x = 1, \quad u_y = 1, \quad v_x = 0, \quad v_y = 0
$$
显然，$u_x \neq v_y$，$u_y \neq -v_x$，因此不满足柯西-黎曼方程，函数(2)在任何点都不解析。

步骤 4：验证函数(3) Re z
设 $z = x + iy$，则 $Re z = x$。令 $u(x,y) = x$，$v(x,y) = 0$。计算偏导数：
$$
u_x = 1, \quad u_y = 0, \quad v_x = 0, \quad v_y = 0
$$
显然，$u_x \neq v_y$，$u_y \neq -v_x$，因此不满足柯西-黎曼方程，函数(3)在任何点都不解析。

步骤 5：验证函数(4) $\frac{1}{2}$
设 $z = x + iy$，则 $\frac{1}{2}$。令 $u(x,y) = \frac{1}{2}$，$v(x,y) = 0$。计算偏导数：
$$
u_x = 0, \quad u_y = 0, \quad v_x = 0, \quad v_y = 0
$$
显然，$u_x \neq v_y$，$u_y \neq -v_x$，因此不满足柯西-黎曼方程，函数(4)在任何点都不解析。