1.(2020全国卷Ⅲ)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若 overrightarrow (AC)cdot overrightarrow (BC)=1 则点C的轨迹为 ()-|||-A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线

本题考查向量的坐标运算和轨迹方程的求解。解题的核心思路是通过建立坐标系，将向量点积的条件转化为代数方程，进而判断轨迹形状。关键在于：

1. 合理选择坐标系，利用对称性简化计算；
2. 正确表示向量坐标并计算点积；
3. 将方程转化为标准形式，识别几何图形。

建立坐标系

以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，A点坐标为$(-a,0)$，B点坐标为$(a,0)$，动点C的坐标为$(x,y)$。

表示向量

• $\overrightarrow{AC} = (x - (-a), y - 0) = (x + a, y)$
• $\overrightarrow{BC} = (x - a, y - 0) = (x - a, y)$

计算点积

根据点积公式：
$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = (x + a)(x - a) + y \cdot y = x^2 - a^2 + y^2$

建立方程

根据题意$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = 1$，得：
$x^2 + y^2 - a^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = a^2 + 1$

判断轨迹形状

方程$x^2 + y^2 = a^2 + 1$表示以原点为圆心、半径为$\sqrt{a^2 + 1}$的圆，因此点C的轨迹为圆。