题目
已知函数 =dfrac ({x)^3}({(x-1))^2} 求:-|||-(1)函数的增减区间及极值.-|||-(2)函数图形的凸凹区间及拐点.-|||-(3)函数图形的渐近线.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $y=\dfrac {{x}^{3}}{{(x-1)}^{2}}$ 的一阶导数 $y'$ 和二阶导数 $y''$，以确定函数的增减区间、极值、凸凹区间及拐点。
步骤 2：求一阶导数
利用商的求导法则，我们得到 $y'=\dfrac {3x^2(x-1)^2-2x^3(x-1)}{(x-1)^4}=\dfrac {x^2(x-3)}{(x-1)^3}$。
步骤 3：求二阶导数
对一阶导数 $y'$ 再次求导，得到 $y''=\dfrac {2x(x-1)^3-3x^2(x-3)(x-1)^2}{(x-1)^6}=\dfrac {2x(x-1)-3x^2(x-3)}{(x-1)^4}=\dfrac {x(2-3x+9x)}{(x-1)^4}=\dfrac {x(10-3x)}{(x-1)^4}$。
步骤 4：确定增减区间及极值
令 $y'=0$，解得 $x=0$ 或 $x=3$。根据一阶导数的符号，可以确定函数的增减区间。当 $x<0$ 或 $x>3$ 时，$y'>0$，函数单调增加；当 $0步骤 5：确定凸凹区间及拐点
令 $y''=0$，解得 $x=0$ 或 $x=\dfrac {10}{3}$。根据二阶导数的符号，可以确定函数的凸凹区间。当 $x<0$ 或 $x>\dfrac {10}{3}$ 时，$y''>0$，函数图形是凹的；当 $0步骤 6：确定渐近线
根据函数的定义域和极限，可以确定函数的渐近线。当 $x\rightarrow 1$ 时，$y\rightarrow +\infty$，因此 $x=1$ 是函数图形的铅直渐近线。当 $x\rightarrow \infty$ 时，$y\rightarrow x+2$，因此 $y=x+2$ 是函数图形的斜渐近线。
首先，我们需要求出函数 $y=\dfrac {{x}^{3}}{{(x-1)}^{2}}$ 的一阶导数 $y'$ 和二阶导数 $y''$，以确定函数的增减区间、极值、凸凹区间及拐点。
步骤 2：求一阶导数
利用商的求导法则，我们得到 $y'=\dfrac {3x^2(x-1)^2-2x^3(x-1)}{(x-1)^4}=\dfrac {x^2(x-3)}{(x-1)^3}$。
步骤 3：求二阶导数
对一阶导数 $y'$ 再次求导，得到 $y''=\dfrac {2x(x-1)^3-3x^2(x-3)(x-1)^2}{(x-1)^6}=\dfrac {2x(x-1)-3x^2(x-3)}{(x-1)^4}=\dfrac {x(2-3x+9x)}{(x-1)^4}=\dfrac {x(10-3x)}{(x-1)^4}$。
步骤 4：确定增减区间及极值
令 $y'=0$，解得 $x=0$ 或 $x=3$。根据一阶导数的符号，可以确定函数的增减区间。当 $x<0$ 或 $x>3$ 时，$y'>0$，函数单调增加；当 $0
令 $y''=0$，解得 $x=0$ 或 $x=\dfrac {10}{3}$。根据二阶导数的符号，可以确定函数的凸凹区间。当 $x<0$ 或 $x>\dfrac {10}{3}$ 时，$y''>0$，函数图形是凹的；当 $0
根据函数的定义域和极限，可以确定函数的渐近线。当 $x\rightarrow 1$ 时，$y\rightarrow +\infty$，因此 $x=1$ 是函数图形的铅直渐近线。当 $x\rightarrow \infty$ 时，$y\rightarrow x+2$，因此 $y=x+2$ 是函数图形的斜渐近线。