题目
练习 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明当m>n，必有行列式|AB|=0.解题笔记
练习 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明当m>n，必有行列式|AB|=0.
解题笔记
题目解答
答案
设 $ A $ 是 $ m \times n $ 矩阵，$ B $ 是 $ n \times m $ 矩阵，且 $ m > n $。则乘积 $ AB $ 是 $ m \times m $ 矩阵。
由矩阵秩的性质，有
\[
r(AB) \leq \min(r(A), r(B)) \leq n < m,
\]
即 $ AB $ 的秩小于其阶数 $ m $，故 $ AB $ 非满秩。
而方阵行列式为零当且仅当非满秩，因此
\[
|AB| = 0.
\]
\[
\boxed{|AB| = 0}
\]
解析
考查要点：本题主要考查矩阵乘积的秩的性质以及行列式与矩阵秩之间的关系。
解题核心思路：
- 矩阵乘积的秩：乘积矩阵$AB$的秩不超过原矩阵$A$和$B$的秩中的较小者。
- 秩与行列式的关系：方阵的行列式为零当且仅当该矩阵不是满秩的。
破题关键点：
- 通过$A$和$B$的维度分析，得出$AB$的秩必然小于其阶数$m$，从而直接推导出行列式为零。
步骤1：分析矩阵$AB$的秩
- $A$是$m \times n$矩阵，其秩$r(A) \leq n$；
- $B$是$n \times m$矩阵，其秩$r(B) \leq n$；
- 根据矩阵乘积的秩性质，有：
$r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\} \leq n.$
步骤2：结合$m > n$分析秩与阶数的关系
- $AB$是$m \times m$方阵，其秩需满足：
$r(AB) \leq n < m.$ - 因此，$AB$的秩小于其阶数$m$，即$AB$是非满秩矩阵。
步骤3：行列式与秩的关系
- 方阵的行列式为零当且仅当矩阵非满秩。
- 由于$AB$非满秩，故：
$|AB| = 0.$