题目

求空间一点 (x0,y0,z0) 到平面 Ax+By+Cz+D=0 的最短距离。

求空间一点 (x0,y0,z0) 到平面 Ax+By+Cz+D=0 的最短距离。

题目解答

答案

设（x，y，z）为平面Ax+By+Cz+D=0上的任意一点，则目标函数为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2
．
可以转化为求函数 f(x，y，z)=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2在约束条件Ax+By+Cz+D=0的最小值问题．
利用拉格朗日乘数法求条件极值，设 L(x，y，z，μ)=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2+μ(Ax+By+Cz+D)，
对L分别求偏导数，并令其为零，即
Lx=2(x-x0)+μA=0
Ly=2(y-y0)+μB=0
Lz=2(z-z0)+μC=0
Lμ=Ax+By+Cz+D=0
(1)
(2)
(3)
(4)
（1）×A+（2）×B+（3）×C代入（4）得 μ=
2(Ax0+By0+Cz0)
A2+B2+C2

从而 x1=x0-
A
2
μ，y1=y0-
B
2
μ，z1=z0-
C
2
μ，
所以点（x 0，y 0，z 0）到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离为 d=
(x1-x0)2+(y1-y0)2+(z1-z0)2
=
|Ax0+By0+Cz0+D|
A2+B2+C2
．

解析

步骤 1：定义目标函数
设（x，y，z）为平面Ax+By+Cz+D=0上的任意一点，则目标函数为
f(x，y，z)=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2
，该函数表示空间中任意一点到点 (x0,y0,z0) 的距离的平方。

步骤 2：引入拉格朗日乘数法
可以将问题转化为求函数 f(x，y，z)=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2在约束条件Ax+By+Cz+D=0的最小值问题。利用拉格朗日乘数法求条件极值，设 L(x，y，z，μ)=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2+μ(Ax+By+Cz+D)。

步骤 3：求偏导数并令其为零
对L分别求偏导数，并令其为零，即
Lx=2(x-x0)+μA=0
Ly=2(y-y0)+μB=0
Lz=2(z-z0)+μC=0
Lμ=Ax+By+Cz+D=0
(1)
(2)
(3)
(4)

步骤 4：求解方程组
（1）×A+（2）×B+（3）×C代入（4）得 μ=
2(Ax0+By0+Cz0)
A2+B2+C2
从而 x1=x0-
A
2
μ，y1=y0-
B
2
μ，z1=z0-
C
2
μ，

步骤 5：计算最短距离
所以点（x _0，y _0，z _0）到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离为 d=
(x1-x0)2+(y1-y0)2+(z1-z0)2
=
|Ax0+By0+Cz0+D|
A2+B2+C2
．