题目

(级数 第15届非数A初赛)设数列(x_{n)}满足x_(0)=(1)/(3)，x_(n+1)=(x_(n)^2)/(1-x_(n)+x_{n)^2},ngeqslant0.证明：无穷级数sum_(n=0)^inftyx_(n)收敛并求其和.

(级数 第15届非数A初赛)设数列${x_{n}}$满足$x_{0}=\frac{1}{3}$，$x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}}{1-x_{n}+x_{n}^{2}}$,$n\geqslant0$. 证明：无穷级数$\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}$收敛并求其和.

题目解答

答案

令 $y_n = \frac{1}{x_n}$，则 $y_0 = 3$，且递推式变为 $y_{n+1} = y_n^2 - y_n + 1$。 由 $y_{n+1} - 1 = y_n(y_n - 1)$，取倒数得 \[ \frac{1}{y_{n+1} - 1} = \frac{1}{y_n(y_n - 1)} = \frac{1}{y_n - 1} - \frac{1}{y_n}. \] 因此， \[ x_n = \frac{1}{y_n} = \frac{1}{y_n - 1} - \frac{1}{y_{n+1} - 1}. \] 级数和为 \[ \sum_{n=0}^{\infty} x_n = \lim_{N \to \infty} \left( \frac{1}{y_0 - 1} - \frac{1}{y_{N+1} - 1} \right) = \frac{1}{2}. \] **答案：** $\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查递推数列的变形技巧、级数求和中的望远镜求和法，以及通过变量替换将复杂递推关系转化为可处理形式的能力。

解题核心思路：

  1. 变量替换：通过令$y_n = \frac{1}{x_n}$，将原递推式转化为更简洁的形式$y_{n+1} = y_n^2 - y_n + 1$。
  2. 构造望远镜级数：通过对递推式进一步变形，发现$x_n$可表示为相邻项的差，从而级数求和时发生相消。
  3. 极限分析：通过分析$y_n$的增长趋势，确定末项的极限为0，最终求得级数和。

破题关键点：

  • 变量替换的选择：通过倒数变换简化递推关系。
  • 拆分差项：将$x_n$表示为$\frac{1}{y_n - 1} - \frac{1}{y_{n+1} - 1}$，形成望远镜结构。
  • 极限判断：证明$y_n$趋于无穷大，从而末项趋于0。

变量替换与递推式变形

令$y_n = \frac{1}{x_n}$，则初始值$y_0 = 3$，原递推式变为：
$y_{n+1} = y_n^2 - y_n + 1.$
进一步变形得：
$y_{n+1} - 1 = y_n(y_n - 1).$
取倒数得：
$\frac{1}{y_{n+1} - 1} = \frac{1}{y_n(y_n - 1)} = \frac{1}{y_n - 1} - \frac{1}{y_n}.$

构造望远镜级数

由$x_n = \frac{1}{y_n}$，结合上述变形可得：
$x_n = \frac{1}{y_n} = \frac{1}{y_n - 1} - \frac{1}{y_{n+1} - 1}.$
因此，级数$\sum_{n=0}^{\infty} x_n$可展开为：
$\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{y_n - 1} - \frac{1}{y_{n+1} - 1} \right).$

求和与极限分析

前$N$项和为：
$\sum_{n=0}^{N} x_n = \frac{1}{y_0 - 1} - \frac{1}{y_{N+1} - 1}.$
当$N \to \infty$时，需判断$\frac{1}{y_{N+1} - 1}$的极限。
由递推式$y_{n+1} = y_n^2 - y_n + 1$可知，$y_n$快速增长趋于无穷大，故$\frac{1}{y_{N+1} - 1} \to 0$。
最终级数和为：
$\sum_{n=0}^{\infty} x_n = \frac{1}{y_0 - 1} = \frac{1}{3 - 1} = \frac{1}{2}.$