题目

17.（计算题，10.0分）设a_(1),a_(2),...,a_(m)是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，beta是非齐次线性方程组Ax=b(bneq0)的一个特解，证明向量组a_(1),a_(2),...,a_(m),beta线性无关.

17.（计算题，10.0分）设$a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$是齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系，$\beta$是非齐次线性方程组$Ax=b(b\neq0)$的一个特解，证明向量组$a_{1},a_{2},\cdots,a_{m},\beta$线性无关.

题目解答

答案

设 $a_1, a_2, \cdots, a_m$ 是齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系，$\beta$ 是非齐次方程组 $Ax=b$（$b \neq 0$）的特解。假设向量组 $a_1, a_2, \cdots, a_m, \beta$ 线性相关，则存在不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m, k$，使得 \[ k_1 a_1 + k_2 a_2 + \cdots + k_m a_m + k \beta = 0. \] **情况1：$k = 0$** 此时方程变为 $k_1 a_1 + k_2 a_2 + \cdots + k_m a_m = 0$。由于 $a_1, a_2, \cdots, a_m$ 线性无关，故 $k_1 = k_2 = \cdots = k_m = 0$，与假设矛盾。 **情况2：$k \neq 0$** 此时可得 $\beta = -\frac{k_1}{k} a_1 - \cdots - \frac{k_m}{k} a_m$。对两边应用 $A$，得 $A\beta = 0$，但已知 $A\beta = b \neq 0$，矛盾。综上，假设不成立，向量组 $a_1, a_2, \cdots, a_m, \beta$ 线性无关。 \[ \boxed{\text{向量组 } a_1, a_2, \cdots, a_m, \beta \text{ 线性无关。}} \]

解析

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组基础解系的性质、非齐次线性方程组特解的性质，以及向量组线性相关性的证明方法。

解题核心思路：
通过反证法假设向量组线性相关，推导出矛盾。关键在于利用基础解系的线性无关性，以及非齐次方程特解代入方程后产生的矛盾。

破题关键点：

基础解系的性质：基础解系中的向量线性无关，且任何齐次方程的解均可由它们线性表示。
特解的性质：非齐次方程的特解代入方程后结果为非零向量$b$。
矛盾构造：通过假设线性相关，分情况讨论系数$k$是否为零，利用方程性质导出矛盾。

证明思路：
假设向量组$a_1, a_2, \cdots, a_m, \beta$线性相关，则存在不全为零的数$k_1, k_2, \cdots, k_m, k$，使得
$k_1 a_1 + k_2 a_2 + \cdots + k_m a_m + k \beta = 0.$
分两种情况讨论：

情况1：$k = 0$

此时方程变为
$k_1 a_1 + k_2 a_2 + \cdots + k_m a_m = 0.$
由于$a_1, a_2, \cdots, a_m$是线性无关的基础解系，故必有
$k_1 = k_2 = \cdots = k_m = 0.$
此时所有系数均为零，与“不全为零”矛盾。

情况2：$k \neq 0$

此时可将$\beta$表示为
$\beta = -\frac{k_1}{k} a_1 - \frac{k_2}{k} a_2 - \cdots - \frac{k_m}{k} a_m.$
对两边应用矩阵$A$，得
$A\beta = -\frac{k_1}{k} A a_1 - \cdots - \frac{k_m}{k} A a_m.$
由于$a_i$是齐次方程的解，故$A a_i = 0$，因此
$A\beta = 0.$
但根据题意，$\beta$是非齐次方程的特解，故
$A\beta = b \neq 0,$
产生矛盾。

结论：两种情况均导致矛盾，故假设不成立，原向量组线性无关。