下列函数中,是偶函数的是() ()-|||-(A) (x)=((x)^2+1)(sin )^3x (B) (x)=ln (x+sqrt ({x)^2+(a)^2})-|||-(C) (x)=dfrac ({2)^-x-(2)^x}({2)^-x+(2)^x} (D) varphi (x)=(x)^2sec x+(csc )^2x

偶函数的定义是$f(-x) = f(x)$对所有$x$成立。解题的关键在于逐个分析选项，计算$f(-x)$并判断其与原函数的关系。需注意以下几点：

1. 奇偶性组合规律：如奇函数的奇次幂仍为奇函数，偶函数与奇函数的乘积为奇函数等。
2. 特殊函数性质：如$\sec x$是偶函数，$\csc x$是奇函数，但$\csc^2 x$是偶函数。
3. 代数变形技巧：如对数表达式的有理化处理、指数函数的负号转换等。

选项A：$f(x) = (x^2 + 1)\sin^3 x$

1. 计算$f(-x)$：
   $f(-x) = [(-x)^2 + 1] \sin^3(-x) = (x^2 + 1)(-\sin^3 x) = -f(x)$
2. 结论：$f(-x) = -f(x)$，是奇函数，不是偶函数。

选项B：$g(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2})$

1. 计算$g(-x)$：
   $g(-x) = \ln(-x + \sqrt{x^2 + a^2})$
2. 有理化处理：
   $-x + \sqrt{x^2 + a^2} = \frac{a^2}{x + \sqrt{x^2 + a^2}}$
3. 化简对数表达式：
   $g(-x) = \ln\left(\frac{a^2}{x + \sqrt{x^2 + a^2}}\right) = \ln(a^2) - g(x)$
4. 结论：$g(-x) \neq g(x)$，不是偶函数。

选项C：$h(x) = \dfrac{2^{-x} - 2^x}{2^{-x} + 2^x}$

1. 计算$h(-x)$：
   $h(-x) = \dfrac{2^{x} - 2^{-x}}{2^{x} + 2^{-x}} = -\dfrac{2^{-x} - 2^x}{2^{-x} + 2^x} = -h(x)$
2. 结论：$h(-x) = -h(x)$，是奇函数，不是偶函数。

选项D：$\varphi(x) = x^2 \sec x + \csc^2 x$

1. 计算$\varphi(-x)$：
   $\varphi(-x) = (-x)^2 \sec(-x) + \csc^2(-x) = x^2 \sec x + \csc^2 x = \varphi(x)$
2. 结论：$\varphi(-x) = \varphi(x)$，是偶函数。