题目
下列函数中,是偶函数的是() ()-|||-(A) (x)=((x)^2+1)(sin )^3x (B) (x)=ln (x+sqrt ({x)^2+(a)^2})-|||-(C) (x)=dfrac ({2)^-x-(2)^x}({2)^-x+(2)^x} (D) varphi (x)=(x)^2sec x+(csc )^2x
题目解答
答案
解析
步骤 1：判断 $f(x)=({x}^{2}+1){\sin }^{3}x$ 是否为偶函数
$f(-x)=[ {(-x)}^{2}+1] {\sin }^{3}(-x)$$=({x}^{2}+1)(-{\sin }^{3}x)$$=-({x}^{2}+1){\sin }^{3}x\neq f(x)$ ,不是偶函数。
步骤 2：判断 $g(x)=\ln (x+\sqrt {{x}^{2}+{a}^{2}})$ 是否为偶函数
$g(-x)=\ln (-x+\sqrt {{(-x)}^{2}+{a}^{2}})$$=\ln (\dfrac {{a}^{2}}{x+\sqrt {{x}^{2}+{a}^{2}}})\neq g(x)$ ,不是偶函数。
步骤 3：判断 $h(x)=\dfrac {{2}^{-x}-{2}^{x}}{{2}^{-x}+{2}^{x}}$ 是否为偶函数
$h(-x)=\dfrac {{2}^{x}-{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$$=-\dfrac {{2}^{-x}-{2}^{x}}{{2}^{-x}+{2}^{x}}=-h(x)$ 不是偶函数。
步骤 4：判断 $\varphi (x)={x}^{2}\sec x+{\csc }^{2}x$ 是否为偶函数
$\varphi (-x)={(-x)}^{2}\sec (-x)+{\csc }^{2}(-x)$$={x}^{2}\sec x+{\csc }^{2}x=\varphi (x)$ ,是偶函数。
$f(-x)=[ {(-x)}^{2}+1] {\sin }^{3}(-x)$$=({x}^{2}+1)(-{\sin }^{3}x)$$=-({x}^{2}+1){\sin }^{3}x\neq f(x)$ ,不是偶函数。
步骤 2：判断 $g(x)=\ln (x+\sqrt {{x}^{2}+{a}^{2}})$ 是否为偶函数
$g(-x)=\ln (-x+\sqrt {{(-x)}^{2}+{a}^{2}})$$=\ln (\dfrac {{a}^{2}}{x+\sqrt {{x}^{2}+{a}^{2}}})\neq g(x)$ ,不是偶函数。
步骤 3：判断 $h(x)=\dfrac {{2}^{-x}-{2}^{x}}{{2}^{-x}+{2}^{x}}$ 是否为偶函数
$h(-x)=\dfrac {{2}^{x}-{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$$=-\dfrac {{2}^{-x}-{2}^{x}}{{2}^{-x}+{2}^{x}}=-h(x)$ 不是偶函数。
步骤 4：判断 $\varphi (x)={x}^{2}\sec x+{\csc }^{2}x$ 是否为偶函数
$\varphi (-x)={(-x)}^{2}\sec (-x)+{\csc }^{2}(-x)$$={x}^{2}\sec x+{\csc }^{2}x=\varphi (x)$ ,是偶函数。