题目
lim _(xarrow 0)dfrac (sin x)(x)= 填空1 )-|||-填空1-|||-请输入填空1的答案-|||-上传附件-|||-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用洛必达法则
当 $x$ 趋向于 $0$ 时，$\sin x$ 和 $x$ 都趋向于 $0$，因此这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的极限问题。我们可以使用洛必达法则来解决这个问题。洛必达法则指出，如果 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的极限，且 $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在，则 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$。
步骤 2：计算导数
对于 $\sin x$，其导数是 $\cos x$；对于 $x$，其导数是 $1$。因此，根据洛必达法则，我们有：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}$$
步骤 3：计算极限
当 $x$ 趋向于 $0$ 时，$\cos x$ 趋向于 $\cos 0 = 1$。因此，我们得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$$
当 $x$ 趋向于 $0$ 时，$\sin x$ 和 $x$ 都趋向于 $0$，因此这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的极限问题。我们可以使用洛必达法则来解决这个问题。洛必达法则指出，如果 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的极限，且 $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在，则 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$。
步骤 2：计算导数
对于 $\sin x$，其导数是 $\cos x$；对于 $x$，其导数是 $1$。因此，根据洛必达法则，我们有：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}$$
步骤 3：计算极限
当 $x$ 趋向于 $0$ 时，$\cos x$ 趋向于 $\cos 0 = 1$。因此，我们得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$$