题目

设 A, B 均为 n 阶对称矩阵. 证明: AB 为对称矩阵的充分必要条件是 AB = BA.

题目解答

答案

设 $ A $ 和 $ B $ 均为 $ n $ 阶对称矩阵，即 $ A^T = A $，$ B^T = B $。
必要性：若 $ AB $ 对称，则 $ (AB)^T = AB $。由转置性质，$ (AB)^T = B^T A^T = BA $，故 $ AB = BA $。
充分性：若 $ AB = BA $，则 $ (AB)^T = B^T A^T = BA = AB $，即 $ AB $ 对称。

结论：$ AB $ 为对称矩阵的充分必要条件是 $ AB = BA $。

$\boxed{AB \text{ 为对称矩阵的充分必要条件是 } AB = BA}$

解析

考查要点：本题主要考查对称矩阵的性质及矩阵乘法的转置运算规则，需要理解对称矩阵的定义和矩阵转置的运算规律，并掌握充要条件证明的结构（必要性与充分性）。

解题核心思路：

必要性：假设$AB$对称，利用转置运算规则$(AB)^T = B^T A^T$，结合$A$和$B$的对称性，推导出$AB = BA$。
充分性：假设$AB = BA$，通过转置运算规则和对称性，证明$(AB)^T = AB$，从而说明$AB$对称。

破题关键点：

对称矩阵的定义：$A^T = A$，$B^T = B$。
转置运算的性质：$(AB)^T = B^T A^T$。
充要条件的双向推导：分别证明“对称$\Rightarrow$可交换”和“可交换$\Rightarrow$对称”。

必要性证明

假设$AB$是对称矩阵，则根据定义有：
$(AB)^T = AB.$
利用转置运算的性质，左边可展开为：
$(AB)^T = B^T A^T.$
由于$A$和$B$均为对称矩阵，即$A^T = A$，$B^T = B$，代入得：
$B A = AB.$
因此，$AB = BA$。

充分性证明

假设$AB = BA$，则计算$AB$的转置：
$(AB)^T = B^T A^T.$
同样利用$A$和$B$的对称性，得：
$B^T A^T = B A.$
根据假设$AB = BA$，可得：
$B A = AB.$
因此，$(AB)^T = AB$，即$AB$是对称矩阵。