题目

设 A，B，C 是同阶方阵，B，C 可逆且 2A = AB^-1 + C，则 A = ( )A. C(2E - B)B. C((1)/(2)E - B)C. B(2B - E)^-1CD. C(2B - E)^-1B

设 $A$，$B$，$C$ 是同阶方阵，$B$，$C$ 可逆且 $2A = AB^{-1} + C$，则 $A = (\quad)$

A. $C(2E - B)$

B. $C(\frac{1}{2}E - B)$

C. $B(2B - E)^{-1}C$

D. $C(2B - E)^{-1}B$

题目解答

答案

D. $C(2B - E)^{-1}B$

解析

本题考查矩阵的运算以及逆矩阵的性质，解题的关键在于通过对已知等式进行变形，利用矩阵的运算法则和逆矩阵的性质求出矩阵$A$。

  1. 首先对已知等式$2A = AB^{-1} + C$进行移项，将含有$A$的项移到等式一边，得到：
    • $2A - AB^{-1}=C$。
  2. 然后提取公因式$A$，根据矩阵乘法分配律$A(B - C)=AB - AC$，可得：
    • $A(2E - B^{-1}) = C$，这里$E$为同阶单位矩阵。
  3. 为了得到$A$的表达式，需要在等式两边同时左乘$(2E - B^{-1})^{-1}$，即：
    • $(2E - B^{-1})^{-1}A(2E - B^{-1}) = (2E - B^{-1})^{-1}C$。
    • 根据逆矩阵的性质$M^{-1}M = E$，则$(2E - B^{-1})^{-1}(2E - B^{-1}) = E$，所以$A = (2E - B^{-1})^{-1}C$。
  4. 接下来对$(2E - B^{-1})^{-1}$进行化简：
    • 先将$2E - B^{-1}$变形为$2BB^{-1}-B^{-1}$，再根据矩阵乘法分配律可得$2BB^{-1}-B^{-1}=(2B - E)B^{-1}$。
    • 那么$(2E - B^{-1})^{-1}=[(2B - E)B^{-1}]^{-1}$。
    • 根据逆矩阵的性质$(MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}$，则$[(2B - E)B^{-1}]^{-1}=(B^{-1})^{-1}(2B - E)^{-1}$。
    • 又因为$(B^{-1})^{-1}=B$，所以$(2E - B^{-1})^{-1}=B(2B - E)^{-1}$。
  5. 最后将$(2E - B^{-1})^{-1}=B(2B - E)^{-1}$代入$A = (2E - B^{-1})^{-1}C$，可得：
    • $A = B(2B - E)^{-1}C$。