题目

某设备由甲、乙两个部件组成，当超载负荷时，各自出故障的概率分别为0.9和0.8，同时出故障的概率为0.75，求超载负荷时，至少有一个部件出故障的概率。

某设备由甲、乙两个部件组成，当超载负荷时，各自出故障的概率分别为0.9和0.8，同时出故障的概率为0.75，求超载负荷时，至少有一个部件出故障的概率。

题目解答

答案

我们来一步一步分析并解答这个概率问题。

题目已知条件：

  • 设备由两个部件组成：甲和乙。
  • 当超载负荷时：
    • 甲出故障的概率是 0.9，记作 $ P(A) = 0.9 $
    • 乙出故障的概率是 0.8，记作 $ P(B) = 0.8 $
    • 甲和乙同时出故障的概率是 0.75，记作 $ P(A \cap B) = 0.75 $

要求：

求至少有一个部件出故障的概率。

“至少有一个出故障”就是指：甲出故障 或 乙出故障，即事件 $ A \cup B $。

根据概率的加法公式：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

代入数值计算：

$P(A \cup B) = 0.9 + 0.8 - 0.75 = 1.7 - 0.75 = 0.95$

答案解释：

所以，超载负荷时，至少有一个部件出故障的概率是 0.95。

最终答案：

$\boxed{0.95}$

解析

考查要点：本题主要考查概率的加法公式的应用，即如何计算两个事件至少有一个发生的概率。

解题核心思路：
题目要求“至少有一个部件出故障”的概率，这对应于事件甲出故障（记作$A$）和乙出故障（记作$B$）的并集概率。根据概率加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
其中，$P(A \cap B)$是两事件同时发生的概率，题目已给出。

破题关键点：

  1. 明确“至少一个发生”对应并集的概率。
  2. 直接代入公式计算，注意避免重复计算同时发生的情况。

已知条件：

  • 甲出故障的概率：$P(A) = 0.9$
  • 乙出故障的概率：$P(B) = 0.8$
  • 甲和乙同时出故障的概率：$P(A \cap B) = 0.75$

目标：求至少有一个部件出故障的概率，即$P(A \cup B)$。

步骤解析：

  1. 应用加法公式：
    $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
  2. 代入数值：
    $P(A \cup B) = 0.9 + 0.8 - 0.75$
  3. 计算结果：
    $P(A \cup B) = 1.7 - 0.75 = 0.95$