题目
10.设函数f(x)在[a,b]上连续，证明：int_(a)^bf(a+b-x)dx=int_(a)^bf(x)dx。
10.设函数f(x)在[a,b]上连续，证明：$\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx$。
题目解答
答案
设 $t = a + b - x$，则 $dt = -dx$。当 $x = a$ 时，$t = b$；当 $x = b$ 时，$t = a$。代入积分得：
\[
\int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(t) \, dt = \int_{a}^{b} f(t) \, dt
\]
由于积分变量不影响结果，故：
\[
\int_{a}^{b} f(t) \, dt = \int_{a}^{b} f(x) \, dx
\]
因此，原等式成立：
\[
\boxed{\int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx}
\]
解析
本题考查定积分的换元法。解题的关键思路是通过合适的变量代换，将被积函数中的\\(a+b - x\)进行转化，然后利用定积分的性质来证明等式成立。
- 进行变量代换：
- 设$t = a a + b - x$，对$t$求关于$x$的导数，根据求导公式$(u+v - w)^\prime=u^\prime+v^\prime - w^\prime$，这里$u = a$，$v = b$，$w = x$，常数的导数为$0$，$x$的导数为$1$，可得$dt=-dx$。
- 确定新的积分上下限：
- 当$x = a$时，将$x = a$代入$t = a + b - x$和$t$的表达式中，可得$t=a + b - a=b$。
- 当$x = b$时，将$x = b$代入$t = a + b - x$中，可得$t=a + b - b=a$。
- 代入原积分并化简：
- 将$t = a + b - x$，$dt=-dx$以及新的积分上下限代入$\int_{a}^{b}f(a + b - x)dx$中，得到$\int_{a}^{b}f(a + b - x)dx=-\int_{b}^{a}f(t)dt}$。
- 根据定积分的性质$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$，对$-\int_{b}^{a}f(t)dt$进行变换，可得$-\int_{a}^{b}f(t)dt$。
- 根据积分变量的无关性得出结论：
- 定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量的符号无关。所以$\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(x)dx$。
- 综上，$\int_{a}^{b}f(a + b - x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx$，原等式得证。