题目
设可逆矩阵 A 的一个特征值为 2，则 ((1)/(3) A^2)^-1 必有一个特征值为A. (4)/(3)B. (3)/(4)C. (1)/(2)D. (1)/(4)
设可逆矩阵 $A$ 的一个特征值为 $2$，则 $(\frac{1}{3} A^2)^{-1}$ 必有一个特征值为
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$
题目解答
答案
B. $\frac{3}{4}$
解析
步骤 1：求 $A^2$ 的特征值
设 $\lambda = 2$ 是矩阵 $A$ 的特征值，对应特征向量为 $\alpha$。则有 $A\alpha = 2\alpha$。因此，$A^2\alpha = A(A\alpha) = A(2\alpha) = 2A\alpha = 2(2\alpha) = 4\alpha$。所以，$A^2$ 的特征值为 $4$。
步骤 2：求 $\frac{1}{3}A^2$ 的特征值
由步骤 1 可知，$A^2$ 的特征值为 $4$，则 $\left(\frac{1}{3}A^2\right)\alpha = \frac{1}{3}(A^2\alpha) = \frac{1}{3}(4\alpha) = \frac{4}{3}\alpha$。所以，$\frac{1}{3}A^2$ 的特征值为 $\frac{4}{3}$。
步骤 3：求 $\left(\frac{1}{3}A^2\right)^{-1}$ 的特征值
设 $\mu$ 为 $\frac{1}{3}A^2$ 的特征值，则 $\frac{1}{\mu}$ 为 $\left(\frac{1}{3}A^2\right)^{-1}$ 的特征值。由步骤 2 可知，$\mu = \frac{4}{3}$，则 $\frac{1}{\mu} = \frac{3}{4}$。所以，$\left(\frac{1}{3}A^2\right)^{-1}$ 的特征值为 $\frac{3}{4}$。
设 $\lambda = 2$ 是矩阵 $A$ 的特征值，对应特征向量为 $\alpha$。则有 $A\alpha = 2\alpha$。因此，$A^2\alpha = A(A\alpha) = A(2\alpha) = 2A\alpha = 2(2\alpha) = 4\alpha$。所以，$A^2$ 的特征值为 $4$。
步骤 2：求 $\frac{1}{3}A^2$ 的特征值
由步骤 1 可知，$A^2$ 的特征值为 $4$，则 $\left(\frac{1}{3}A^2\right)\alpha = \frac{1}{3}(A^2\alpha) = \frac{1}{3}(4\alpha) = \frac{4}{3}\alpha$。所以，$\frac{1}{3}A^2$ 的特征值为 $\frac{4}{3}$。
步骤 3：求 $\left(\frac{1}{3}A^2\right)^{-1}$ 的特征值
设 $\mu$ 为 $\frac{1}{3}A^2$ 的特征值，则 $\frac{1}{\mu}$ 为 $\left(\frac{1}{3}A^2\right)^{-1}$ 的特征值。由步骤 2 可知，$\mu = \frac{4}{3}$，则 $\frac{1}{\mu} = \frac{3}{4}$。所以，$\left(\frac{1}{3}A^2\right)^{-1}$ 的特征值为 $\frac{3}{4}$。