题目
设X～N（0，1），求Y=|X|的概率密度．
设X～N（0，1），求Y=|X|的概率密度．
题目解答
答案
当
此时
当
因此
综上，
解析
步骤 1：定义Y的概率分布函数
设Y=|X|，其中X～N（0，1），即X服从标准正态分布。我们需要求Y的概率密度函数fY(y)。首先，我们定义Y的概率分布函数FY(y)。
步骤 2：计算Y的概率分布函数
当y<0时，Y的取值范围为[0, +∞)，因此FY(y)=P{Y⩽y}=P(Φ)=0，此时fY(y)=0。
当y⩾0时，FY(y)=P{Y⩽y}=P{|X|⩽y}=P{−y⩽X⩽y}=FX(y)−FX(−y)，其中FX(x)是X的概率分布函数。
步骤 3：计算Y的概率密度函数
根据概率密度函数的定义，fY(y)=F′Y(y)=fX(y)+fX(−y)，其中fX(x)是X的概率密度函数。由于X服从标准正态分布，其概率密度函数为fX(x)=1√2πe−x22。因此，fY(y)=2√2πe−y22。
设Y=|X|，其中X～N（0，1），即X服从标准正态分布。我们需要求Y的概率密度函数fY(y)。首先，我们定义Y的概率分布函数FY(y)。
步骤 2：计算Y的概率分布函数
当y<0时，Y的取值范围为[0, +∞)，因此FY(y)=P{Y⩽y}=P(Φ)=0，此时fY(y)=0。
当y⩾0时，FY(y)=P{Y⩽y}=P{|X|⩽y}=P{−y⩽X⩽y}=FX(y)−FX(−y)，其中FX(x)是X的概率分布函数。
步骤 3：计算Y的概率密度函数
根据概率密度函数的定义，fY(y)=F′Y(y)=fX(y)+fX(−y)，其中fX(x)是X的概率密度函数。由于X服从标准正态分布，其概率密度函数为fX(x)=1√2πe−x22。因此，fY(y)=2√2πe−y22。