题目
1.求下列幂级数的收敛区间:-|||-(2) https:/img.zuoyebang.cc/zyb_f5f5df11a7a52ca29276495dd5a8ed57.jpg-x+dfrac ({x)^2}({2)^2}+... +((-1))^ndfrac ({x)^n}({n)^2}+... ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定幂级数的一般项
幂级数的一般项为 ${a}_{n}={(-1)}^{n}\dfrac {{x}^{n}}{{n}^{2}}$，其中 $n\geqslant 0$。
步骤 2：计算相邻项的绝对值比值
计算相邻项的绝对值比值 $\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}$，得到 $\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}=\dfrac {1}{{(n+1)}^{2}}/\dfrac {1}{{n}^{2}}={(\dfrac {n}{n+1})}^{2}$。
步骤 3：求极限
求极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}=\lim _{n\rightarrow \infty }{(\dfrac {n}{n+1})}^{2}=1$，从而得到收敛半径 $R=1$。
步骤 4：确定收敛区间
由于幂级数的收敛半径为1，因此收敛区间为 $(-1,1)$。需要验证端点 $x=-1$ 和 $x=1$ 处的收敛性。
- 当 $x=-1$ 时，幂级数变为 $1+1+\dfrac {1}{{2}^{2}}+\cdots +\dfrac {1}{{n}^{2}}+\cdots $，这是一个正项级数，且每一项都小于 $\dfrac {1}{n}$，因此级数收敛。
- 当 $x=1$ 时，幂级数变为 $1-1+\dfrac {1}{{2}^{2}}-\cdots +{(-1)}^{n}\dfrac {1}{{n}^{2}}+\cdots $，这是一个交错级数，且每一项都小于 $\dfrac {1}{n}$，因此级数收敛。
因此，幂级数在端点 $x=-1$ 和 $x=1$ 处都收敛，收敛区间为 $[-1,1]$。
幂级数的一般项为 ${a}_{n}={(-1)}^{n}\dfrac {{x}^{n}}{{n}^{2}}$，其中 $n\geqslant 0$。
步骤 2：计算相邻项的绝对值比值
计算相邻项的绝对值比值 $\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}$，得到 $\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}=\dfrac {1}{{(n+1)}^{2}}/\dfrac {1}{{n}^{2}}={(\dfrac {n}{n+1})}^{2}$。
步骤 3：求极限
求极限 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|}=\lim _{n\rightarrow \infty }{(\dfrac {n}{n+1})}^{2}=1$，从而得到收敛半径 $R=1$。
步骤 4：确定收敛区间
由于幂级数的收敛半径为1，因此收敛区间为 $(-1,1)$。需要验证端点 $x=-1$ 和 $x=1$ 处的收敛性。
- 当 $x=-1$ 时，幂级数变为 $1+1+\dfrac {1}{{2}^{2}}+\cdots +\dfrac {1}{{n}^{2}}+\cdots $，这是一个正项级数，且每一项都小于 $\dfrac {1}{n}$，因此级数收敛。
- 当 $x=1$ 时，幂级数变为 $1-1+\dfrac {1}{{2}^{2}}-\cdots +{(-1)}^{n}\dfrac {1}{{n}^{2}}+\cdots $，这是一个交错级数，且每一项都小于 $\dfrac {1}{n}$，因此级数收敛。
因此，幂级数在端点 $x=-1$ 和 $x=1$ 处都收敛，收敛区间为 $[-1,1]$。