题目

2.(2014会计，国贸，电气，电子，电商)函数y=ln[ln(ln x)]的定义域是_____.

2.(2014会计，国贸，电气，电子，电商)函数$y=\ln[\ln(\ln x)]$的定义域是_____.

题目解答

答案

函数 $y = \ln[\ln(\ln x)]$ 的定义域需满足每层对数的参数大于零。 1. 内层：$\ln x > 0 \Rightarrow x > 1$。 2. 中层：$\ln(\ln x) > 0 \Rightarrow \ln x > 1 \Rightarrow x > e$。 3. 外层：$\ln[\ln(\ln x)]$ 有意义，需 $\ln(\ln x) > 0$，已包含在条件2中。 最严格的条件为 $x > e$，故定义域为 $\boxed{(e, +\infty)}$。

解析

考查要点：本题主要考查复合函数的定义域求解，特别是多层自然对数函数的嵌套情况。
解题核心思路：从内到外逐层分析，确保每一层对数函数的参数满足大于0的条件。
关键点：

  1. 最内层 $\ln x > 0$，确定$x > 1$；
  2. 中间层 $\ln(\ln x) > 0$，进一步要求$x > e$；
  3. 外层 $\ln[\ln(\ln x)]$的条件已包含在中间层的结论中，无需额外限制。
    最终取所有条件的交集，即最严格的条件。

步骤1：分析最内层$\ln x$

要求$\ln x$有意义，需满足：
$\ln x > 0 \implies x > 1.$

步骤2：分析中间层$\ln(\ln x)$

要求$\ln(\ln x)$有意义，需满足：
$\ln x > 1 \implies x > e.$

步骤3：分析外层$\ln[\ln(\ln x)]$

要求外层$\ln[\ln(\ln x)]$有意义，需满足：
$\ln(\ln x) > 0.$
但根据步骤2的结论，$\ln(\ln x) > 0$已隐含在$x > e$中，因此无需额外条件。

综合所有条件：最严格的限制是$x > e$，故定义域为$(e, +\infty)$。