题目
（共10分）设有向量组alpha_(1)=(1,1,2,3)^T,alpha_(2)=(1,-1,1,1)^T,alpha_(3)=(1,3,3,5)^T,alpha_(4)=(4,-2,5,6)^T,alpha_(5)=(3,1,5,7)^T,求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示.
（共10分）设有向量组$\alpha_{1}=(1,1,2,3)^{T},\alpha_{2}=(1,-1,1,1)^{T},\alpha_{3}=(1,3,3,5)^{T},\alpha_{4}=(4,-2,5,6)^{T},\alpha_{5}=(3,1,5,7)^{T},$求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示.
题目解答
答案
将向量组构成矩阵 $A$，进行行初等变换化为行最简形：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 4 & 3 \\
1 & -1 & 3 & -2 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 5 & 5 \\
3 & 1 & 5 & 6 & 7
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
非零行数为2，故向量组的秩为2。前两列对应向量 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$，构成极大线性无关组。由行最简形得：
\[
\alpha_3 = 2\alpha_1 - \alpha_2, \quad \alpha_4 = \alpha_1 + 3\alpha_2, \quad \alpha_5 = 2\alpha_1 + \alpha_2
\]
**答案：**
向量组的秩为2，极大线性无关组为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$，其余向量表示为：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\alpha_3 = 2\alpha_1 - \alpha_2, \\
\alpha_4 = \alpha_1 + 3\alpha_2, \\
\alpha_5 = 2\alpha_1 + \alpha_2。
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：构造矩阵
构造矩阵 $A$，其列向量为给定的向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$。
步骤 2：行初等变换
对矩阵 $A$ 进行行初等变换，化为行最简形。
步骤 3：确定秩和极大线性无关组
根据行最简形矩阵的非零行数确定向量组的秩，并根据非零行对应的列确定极大线性无关组。
步骤 4：线性表示
利用行最简形矩阵，将非极大线性无关组的向量用极大线性无关组的向量线性表示。
构造矩阵 $A$，其列向量为给定的向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$。
步骤 2：行初等变换
对矩阵 $A$ 进行行初等变换，化为行最简形。
步骤 3：确定秩和极大线性无关组
根据行最简形矩阵的非零行数确定向量组的秩，并根据非零行对应的列确定极大线性无关组。
步骤 4：线性表示
利用行最简形矩阵，将非极大线性无关组的向量用极大线性无关组的向量线性表示。