题目
练习3、设a∈(0,1),b∈(0,1),求证:sqrt(a^2)+b^(2)+sqrt((1-a)^2)+b^(2)+sqrt((1-a)^2)+(1-b)^(2)+sqrt(a^2)+(1-b)^(2)geq2sqrt(2)
练习3、设a∈(0,1),b∈(0,1),求证:
$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{(1-a)^{2}+b^{2}}+\sqrt{(1-a)^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}\geq2\sqrt{2}$
题目解答
答案
为了证明不等式 $\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{(1-a)^2 + b^2} + \sqrt{(1-a)^2 + (1-b)^2} + \sqrt{a^2 + (1-b)^2} \geq 2\sqrt{2}$，我们可以从几何角度进行解释。考虑单位正方形的顶点，其坐标为 $(0,0)$，$(1,0)$，$(1,1)$，和 $(0,1)$。设点 $P$ 的坐标为 $(a,b)$，其中 $a \in (0,1)$ 和 $b \in (0,1)$。给定的表达式代表了点 $P$ 到单位正方形四个顶点的距离之和。
具体来说，我们有：
\[
\sqrt{a^2 + b^2} = \text{距离}(P, (0,0)),
\]
\[
\sqrt{(1-a)^2 + b^2} = \text{距离}(P, (1,0)),
\]
\[
\sqrt{(1-a)^2 + (1-b)^2} = \text{距离}(P, (1,1)),
\]
\[
\sqrt{a^2 + (1-b)^2} = \text{距离}(P, (0,1)).
\]
我们需要证明，从单位正方形内部任意一点到其四个顶点的距离之和至少为 $2\sqrt{2}$。考虑单位正方形的对角线。单位正方形的对角线长度为 $\sqrt{2}$，并且有两条对角线，因此对角线的总长度为 $2\sqrt{2}$。
现在，让我们将单位正方形分为两个三角形，沿对角线 $(0,0)$ 到 $(1,1)$。点 $P$ 到顶点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 的距离之和至少等于对角线 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的长度，即 $\sqrt{2}$。同样，点 $P$ 到顶点 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 的距离之和至少等于对角线 $(1,0)$ 到 $(0,1)$ 的长度，即 $\sqrt{2}$。
因此，从点 $P$ 到单位正方形四个顶点的距离之和至少为：
\[
\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}.
\]
这证明了不等式：
\[
\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{(1-a)^2 + b^2} + \sqrt{(1-a)^2 + (1-b)^2} + \sqrt{a^2 + (1-b)^2} \geq 2\sqrt{2}.
\]
等号成立当且仅当点 $P$ 是对角线的交点，即 $P = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$。在这种情况下，到每个顶点的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，距离之和为：
\[
4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}.
\]
因此，不等式得到证明，答案为：
\[
\boxed{2\sqrt{2}}.
\]
解析
步骤 1：几何解释
考虑单位正方形的顶点，其坐标为 $(0,0)$，$(1,0)$，$(1,1)$，和 $(0,1)$。设点 $P$ 的坐标为 $(a,b)$，其中 $a \in (0,1)$ 和 $b \in (0,1)$。给定的表达式代表了点 $P$ 到单位正方形四个顶点的距离之和。 具体来说，我们有： \[ \sqrt{a^2 + b^2} = \text{距离}(P, (0,0)), \] \[ \sqrt{(1-a)^2 + b^2} = \text{距离}(P, (1,0)), \] \[ \sqrt{(1-a)^2 + (1-b)^2} = \text{距离}(P, (1,1)), \] \[ \sqrt{a^2 + (1-b)^2} = \text{距离}(P, (0,1)). \]
步骤 2：对角线长度
单位正方形的对角线长度为 $\sqrt{2}$，并且有两条对角线，因此对角线的总长度为 $2\sqrt{2}$。
步骤 3：距离之和的最小值
考虑单位正方形分为两个三角形，沿对角线 $(0,0)$ 到 $(1,1)$。点 $P$ 到顶点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 的距离之和至少等于对角线 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的长度，即 $\sqrt{2}$。同样，点 $P$ 到顶点 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 的距离之和至少等于对角线 $(1,0)$ 到 $(0,1)$ 的长度，即 $\sqrt{2}$。 因此，从点 $P$ 到单位正方形四个顶点的距离之和至少为： \[ \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}. \]
步骤 4：等号成立条件
等号成立当且仅当点 $P$ 是对角线的交点，即 $P = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$。在这种情况下，到每个顶点的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，距离之和为： \[ 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}. \]
考虑单位正方形的顶点，其坐标为 $(0,0)$，$(1,0)$，$(1,1)$，和 $(0,1)$。设点 $P$ 的坐标为 $(a,b)$，其中 $a \in (0,1)$ 和 $b \in (0,1)$。给定的表达式代表了点 $P$ 到单位正方形四个顶点的距离之和。 具体来说，我们有： \[ \sqrt{a^2 + b^2} = \text{距离}(P, (0,0)), \] \[ \sqrt{(1-a)^2 + b^2} = \text{距离}(P, (1,0)), \] \[ \sqrt{(1-a)^2 + (1-b)^2} = \text{距离}(P, (1,1)), \] \[ \sqrt{a^2 + (1-b)^2} = \text{距离}(P, (0,1)). \]
步骤 2：对角线长度
单位正方形的对角线长度为 $\sqrt{2}$，并且有两条对角线，因此对角线的总长度为 $2\sqrt{2}$。
步骤 3：距离之和的最小值
考虑单位正方形分为两个三角形，沿对角线 $(0,0)$ 到 $(1,1)$。点 $P$ 到顶点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 的距离之和至少等于对角线 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的长度，即 $\sqrt{2}$。同样，点 $P$ 到顶点 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 的距离之和至少等于对角线 $(1,0)$ 到 $(0,1)$ 的长度，即 $\sqrt{2}$。 因此，从点 $P$ 到单位正方形四个顶点的距离之和至少为： \[ \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}. \]
步骤 4：等号成立条件
等号成立当且仅当点 $P$ 是对角线的交点，即 $P = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$。在这种情况下，到每个顶点的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，距离之和为： \[ 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}. \]