2 -5 1 2-|||--3 7 -1 4-|||-计算 D=-|||-5 -9 2 7-|||-4 -6 1 2

考查要点：本题主要考查四阶行列式的计算方法，特别是通过行变换将行列式化为上三角矩阵，从而简化计算。

解题核心思路：通过行变换将原行列式逐步化为上三角矩阵，此时行列式的值等于对角线元素的乘积。关键在于通过加减行操作，将下方元素变为零，减少计算复杂度。

破题关键点：

1. 选择第一列作为主元列，利用第一行的元素消去下方各行的第一个元素。
2. 逐列处理，依次将第二列、第三列下方的元素消为零，最终形成上三角矩阵。

步骤1：消去第一列下方元素

• 第二行：用第一行乘以 $\frac{3}{2}$ 加到第二行，消去第二行第一个元素。
• 第三行：用第一行乘以 $-\frac{5}{2}$ 加到第三行，消去第三行第一个元素。
• 第四行：用第一行乘以 $-2$ 加到第四行，消去第四行第一个元素。

变换后行列式为：
$\begin{matrix}2 & -5 & 1 & 2 \\0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 7 \\0 & \frac{7}{2} & -\frac{1}{2} & 2 \\0 & 4 & -1 & -2\end{matrix}$

步骤2：消去第二列下方元素

• 第三行：用第二行乘以 $7$ 加到第三行，消去第三行第二个元素。
• 第四行：用第二行乘以 $8$ 加到第四行，消去第四行第二个元素。

变换后行列式为：
$\begin{matrix}2 & -5 & 1 & 2 \\0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 7 \\0 & 0 & 3 & 51 \\0 & 0 & 3 & 54\end{matrix}$

步骤3：消去第三列下方元素

• 第四行：用第三行乘以 $-1$ 加到第四行，消去第四行第三个元素。

最终上三角矩阵为：
$\begin{matrix}2 & -5 & 1 & 2 \\0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 7 \\0 & 0 & 3 & 51 \\0 & 0 & 0 & 3\end{matrix}$

步骤4：计算对角线乘积

对角线元素为 $2, -\frac{1}{2}, 3, 3$，乘积为：
$2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \times 3 \times 3 = -9$