题目

定积分(int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}dfrac (|x|sin x)(1+{cos )^3x}dx=（）.(int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}dfrac (|x|sin x)(1+{cos )^3x}dx=. (int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}dfrac (|x|sin x)(1+{cos )^3x}dx=(int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}dfrac (|x|sin x)(1+{cos )^3x}dx=. (int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}dfrac (|x|sin x)(1+{cos )^3x}dx=(int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}dfrac (|x|sin x)(1+{cos )^3x}dx=. (int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}dfrac (|x|sin x)(1+{cos )^3x}dx=(int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}dfrac (|x|sin x)(1+{cos )^3x}dx=. (int )_(-dfrac {pi )(2)}^dfrac (pi {2)}dfrac (|x|sin x)(1+{cos )^3x}dx=

定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\mid x\mid\sin x}{1+\cos^3x}dx=$ （）.

$A$ . $1$

$B$ . $0$

$C$ . $5$

$D$ . $\frac{\pi}{2}$

题目解答

答案

由题知，定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\mid x\mid\sin x}{1+\cos^3x}dx$ ，积分区间为 $\left[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right]$ ，是对称区间.因为函数 $y=\left | {x} \right |$ 是偶函数，而函数 $y=\sin x$ 是奇函数，所以被积函数 $\frac{\mid x\mid\sin x}{1+\cos^3x}$ 是奇函数，所以根据定积分的奇偶性：设 $f(x)$ 为区间 $[-a,a]$ 上的连续函数 $(a>0)$ ，则 $\int_{-a}^{a}f(x)dx=\begin{cases} 0,f(x)为奇函数 \newline 2\int_{0}^{a}f(x)dx,f(x)为偶函数 \end{cases}$ ，可知原定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\mid x\mid\sin x}{1+\cos^3x}dx=0$ .故本题答案选 $B$ .

解析

步骤 1：确定积分区间
积分区间为$[-\dfrac {\pi }{2},\dfrac {\pi }{2}]$，这是一个对称区间。

步骤 2：分析被积函数的奇偶性
被积函数为$\dfrac {|x|\sin x}{1+{\cos }^{3}x}$，其中$|x|$是偶函数，$\sin x$是奇函数，因此被积函数是奇函数。

步骤 3：应用定积分的奇偶性
根据定积分的奇偶性，如果被积函数是奇函数，且积分区间是对称的，则定积分的值为0。