10. 定积分int_(0)^1(1)/(1+sqrt(x))dx=（ ）A. 1-2ln2B. 2-ln2C. 2-2ln2D. 1-ln2

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是通过变量替换简化积分表达式的能力，以及分式分解的技巧。

解题核心思路：

1. 变量替换：令$t = \sqrt{x}$，将原积分转化为关于$t$的积分，简化被积函数。
2. 分式分解：将被积函数$\frac{2t}{1+t}$拆分为更易积分的形式。
3. 分步积分：分别计算多项式和对数函数的积分，最后代入上下限求解。

破题关键点：

• 选择合适的替换变量：通过$t = \sqrt{x}$消除根号，简化积分形式。
• 正确拆分分式：将$\frac{2t}{1+t}$转化为$2\left(1 - \frac{1}{1+t}\right)$，便于积分。

变量替换与积分转换

令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2t \, dt$。当$x$从$0$变到$1$时，$t$从$0$变到$1$。原积分变为：
$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+\sqrt{x}} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{2t}{1+t} \, dt$

分式分解

将被积函数拆分：
$\frac{2t}{1+t} = 2 \left(1 - \frac{1}{1+t}\right)$

分步积分

积分分为两部分：
$2 \int_{0}^{1} \left(1 - \frac{1}{1+t}\right) \, dt = 2 \left[ \int_{0}^{1} 1 \, dt - \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t} \, dt \right]$

1. 第一部分积分：
   $\int_{0}^{1} 1 \, dt = t \Big|_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$

2. 第二部分积分：
   $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t} \, dt = \ln|1+t| \Big|_{0}^{1} = \ln2 - \ln1 = \ln2$

合并结果

代入上下限并计算：
$2 \left[1 - \ln2\right] = 2 - 2\ln2$