题目
13、(10分)已知向量组a_(1)=(1,0,2,1)^T,a_(2)=(1,2,0,1)^T,a_(3)=(2,1,3,0)^T,a_(4)=(2,5,-1,4)^T, a_(5)=(1,-1,3,-1)^T,求该向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.
13、(10分)已知向量组$a_{1}=(1,0,2,1)^{T},a_{2}=(1,2,0,1)^{T},a_{3}=(2,1,3,0)^{T},a_{4}=(2,5,-1,4)^{T},$ $a_{5}=(1,-1,3,-1)^{T},$求该向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.
题目解答
答案
将向量组构成矩阵并进行初等行变换至行最简形：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\
2 & 0 & 3 & -1 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 4 & -1
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
由行最简形知，向量组的秩为3，极大无关组为 $a_1, a_2, a_3$。其余向量表示为：
\[
a_4 = a_1 + 3a_2 - a_3, \quad a_5 = -a_2 + a_3
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{极大无关组：} & a_1, a_2, a_3 \\
\text{线性表示：} & a_4 = a_1 + 3a_2 - a_3 \\
& a_5 = -a_2 + a_3 \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：构造矩阵
将向量组$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$构成矩阵$A$，即
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\ 2 & 0 & 3 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 4 & -1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：行最简形变换
对矩阵$A$进行初等行变换，将其化为行最简形。变换过程如下：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\ 2 & 0 & 3 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 4 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定极大无关组
由行最简形矩阵可知，向量组的秩为3，极大无关组为$a_1, a_2, a_3$。
步骤 4：线性表示
根据行最简形矩阵，可以得到$a_4$和$a_5$用极大无关组$a_1, a_2, a_3$的线性表示：
\[ a_4 = a_1 + 3a_2 - a_3 \]
\[ a_5 = -a_2 + a_3 \]
将向量组$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$构成矩阵$A$，即
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\ 2 & 0 & 3 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 4 & -1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：行最简形变换
对矩阵$A$进行初等行变换，将其化为行最简形。变换过程如下：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 & -1 \\ 2 & 0 & 3 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 4 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定极大无关组
由行最简形矩阵可知，向量组的秩为3，极大无关组为$a_1, a_2, a_3$。
步骤 4：线性表示
根据行最简形矩阵，可以得到$a_4$和$a_5$用极大无关组$a_1, a_2, a_3$的线性表示：
\[ a_4 = a_1 + 3a_2 - a_3 \]
\[ a_5 = -a_2 + a_3 \]