3.椭圆抛物面z=2x^2+y^2在点P(1,-1,3)处的切平面方程是（）A. 2x+4y-z-3=0B. 2x-4y-z-3=0C. 4x+2y-z-3=0D. 4x-2y-z-3=0

本题考查椭圆抛物面切平面方程的求解，解题思路是先求出椭圆抛物面方程的法向量，再利用点法式方程来确定切平面方程。

步骤一：设函数并求偏导数

设$F(x,y,z)=2x^{2}+y^{2}-z$，则椭圆抛物面$z = 2x^{2}+y^{2}$可看作是函数$F(x,y,z)=0$所表示的曲面。
根据求偏导数的公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，分别对$x$、$y$、$z$求偏导数：

• 对$x$求偏导数：$F_{x}=\frac{\partial F}{\partial x}=4x$。
• 对$y$求偏导数：$F_{y}=\frac{\partial F}{\partial y}=2y$。
• 对$z$求偏导数：$F_{z}=\frac{\partial F}{\partial z}=-1$。

步骤二：求在点$P(1, -1, 3)$处的法向量

将点$P(1, -1, 3)$代入上面所求的偏导数中，得到法向量的坐标：

• $F_{x}(1,-1,3)=4\times1 = 4$。
• $F_{y}(1,-1,3)=2\times(-1)= -2$。
• $F_{z}(1,-1,3)= -1$。
  所以，椭圆抛物面在点$P(1, -1, 3)$处的法向量$\vec{n}=(4, -2, -1)$。

步骤三：根据点法式方程求切平面方程

点法式方程的一般形式为$A(x - x_0)+B(y - y_0)+C(z - z_0)=0$，其中$(x_0,y_0,z_0)$是平面上的一点，$(A,B,C)$是该平面的法向量。
已知点$P(1, -1, 3)$，法向量$\vec{n}=(4, -2, -1)$，代入点法式方程可得：
$4(x - 1)-2(y + 1)-(z - 3)=0$
展开括号得：
$4x - 4 - 2y - 2 - z + 3 = 0$
整理得：
$4x - 2y - z - 3 = 0$