题目
1.计算下列定积分:-|||-(3) (int )_(0)^3arcsin sqrt (dfrac {x)(1+x)}dx;
题目解答
答案
解析
步骤 1：变量替换
令 $\arcsin \sqrt {\dfrac {x}{1+x}}=t$ ,则 $x={\tan }^{2}t$ ,且 x=0 时, t=0 x=3 时, $t=\dfrac {\pi }{3}$ 。
步骤 2：计算积分
根据变量替换，原积分变为 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} t \cdot 2\tan t \cdot \sec^2 t dt$。
步骤 3：分部积分
使用分部积分法，设 $u=t$，$dv=2\tan t \cdot \sec^2 t dt$，则 $du=dt$，$v=\sec^2 t$。
步骤 4：计算分部积分
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} t \cdot 2\tan t \cdot \sec^2 t dt = \left[ t \cdot \sec^2 t \right]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} - {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} \sec^2 t dt$。
步骤 5：计算剩余积分
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} \sec^2 t dt = \left[ \tan t \right]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}$。
步骤 6：计算最终结果
将步骤 4 和步骤 5 的结果代入，得到 $\left[ t \cdot \sec^2 t \right]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} - \left[ \tan t \right]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} = \dfrac {4\pi }{3}-\sqrt {3}$。
令 $\arcsin \sqrt {\dfrac {x}{1+x}}=t$ ,则 $x={\tan }^{2}t$ ,且 x=0 时, t=0 x=3 时, $t=\dfrac {\pi }{3}$ 。
步骤 2：计算积分
根据变量替换，原积分变为 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} t \cdot 2\tan t \cdot \sec^2 t dt$。
步骤 3：分部积分
使用分部积分法，设 $u=t$，$dv=2\tan t \cdot \sec^2 t dt$，则 $du=dt$，$v=\sec^2 t$。
步骤 4：计算分部积分
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} t \cdot 2\tan t \cdot \sec^2 t dt = \left[ t \cdot \sec^2 t \right]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} - {\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} \sec^2 t dt$。
步骤 5：计算剩余积分
${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} \sec^2 t dt = \left[ \tan t \right]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}}$。
步骤 6：计算最终结果
将步骤 4 和步骤 5 的结果代入，得到 $\left[ t \cdot \sec^2 t \right]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} - \left[ \tan t \right]_{0}^{\dfrac {\pi }{3}} = \dfrac {4\pi }{3}-\sqrt {3}$。