题目

设C为一条正向简单闭曲线,若函数f(z)在C上C的内部除去有限个孤立奇点Z1,22,···,2n外处处解析,则( )AZ1,22,···,2nBZ1,22,···,2nCZ1,22,···,2nD Z1,22,···,2n

设C为一条正向简单闭曲线,若函数f(z)在C上C的内部除去有限个孤立奇点 $z_1,z_2,\dots,z_n$ 外处处解析,则( )

A $\oint \limits_C f(z)dz=2 \pi i \sum _ {i=1} ^n Res[f(z) ,z_i]$

B $\oint \limits_C f(z)dz=-2 \pi \sum _ {i=1} ^n Res[f(z) ,z_i]$

C $\oint \limits_C f(z)dz= \sum _ {i=1} ^n Res[f(z) ,z_i]$

D $\oint \limits_C f(z)dz=2 \pi iRes[f(z) ,z_i]$

题目解答

答案

根据留数定理，若函数f(z)在一条正向简单闭曲线C上及C的内部除去有限个孤立奇点 $z_1,z_2,\dots,z_n$ 外处处解析，则 $\oint\limits_{C}f(z)dz = 2\pi i\sum_{i = 1}^{n}Res[f(z),z_i]$ 。

答案是 A。

解析

步骤 1：理解留数定理
留数定理是复分析中的一个基本定理，它描述了在一条正向简单闭曲线C上，函数f(z)在C的内部除去有限个孤立奇点外处处解析时，函数f(z)沿曲线C的积分与这些奇点的留数之间的关系。

步骤 2：应用留数定理
根据留数定理，若函数f(z)在一条正向简单闭曲线C上及C的内部除去有限个孤立奇点Z1,22,···,2n外处处解析，则函数f(z)沿曲线C的积分等于2πi乘以这些奇点的留数之和。

步骤 3：选择正确的选项
根据留数定理，正确的选项是A，即${f}_{f(z)}dz=2\pi i\sum _{i=1}^{n}Res[ f(z)$ ,zi]。