1.设随机变量X的分布律为-|||--1 1 2-|||-P 1/8 1/2 1/8 1/4-|||-求E(X),E(X^2 ), E(2X+3)

考查要点：本题主要考查离散型随机变量的期望计算，包括直接计算期望、计算函数的期望以及利用期望的线性性质简化运算。

解题核心思路：

1. 正确识别随机变量的取值及其对应的概率，确保分布律的正确性。
2. 应用期望公式：对于函数$g(X)$，其期望$E(g(X)) = \sum g(x_i)P(X=x_i)$。
3. 利用线性性质：$E(aX + b) = aE(X) + b$，避免重复计算。

破题关键点：

• 明确分布律：确认随机变量$X$的取值为$-1, 0, 1, 2$，对应概率为$\frac{1}{8}, \frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \frac{1}{4}$。
• 分步计算：先计算$E(X)$，再利用结果快速求$E(2X+3)$。

1. 计算$E(X)$

根据期望公式：
$E(X) = \sum x_i P(X = x_i)$
代入数据：
$\begin{aligned}E(X) &= (-1) \times \frac{1}{8} + 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{8} + 2 \times \frac{1}{4} \\&= -\frac{1}{8} + 0 + \frac{1}{8} + \frac{2}{4} \\&= 0 + \frac{1}{2} \\&= \frac{1}{2}\end{aligned}$

2. 计算$E(X^2)$

根据期望公式，先计算每个取值的平方：
$\begin{aligned}E(X^2) &= (-1)^2 \times \frac{1}{8} + 0^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{1}{8} + 2^2 \times \frac{1}{4} \\&= 1 \times \frac{1}{8} + 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{8} + 4 \times \frac{1}{4} \\&= \frac{1}{8} + 0 + \frac{1}{8} + 1 \\&= \frac{2}{8} + 1 \\&= \frac{1}{4} + 1 \\&= \frac{5}{4}\end{aligned}$

3. 计算$E(2X + 3)$

利用期望的线性性质：
$E(2X + 3) = 2E(X) + 3$
代入$E(X) = \frac{1}{2}$：
$\begin{aligned}E(2X + 3) &= 2 \times \frac{1}{2} + 3 \\&= 1 + 3 \\&= 4\end{aligned}$