求底圆半径相等的两个直交圆柱面 ^2+(y)^2-|||-=(R)^2 及 ^2+(z)^2=(R)^2 所围立体的表面积.

步骤 1：确定立体的形状和对称性
两个直交圆柱面 ${x}^{2}+{y}^{2}={R}^{2}$ 和 ${x}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$ 所围成的立体是一个由两个圆柱体相交形成的立体。由于两个圆柱体的底圆半径相等，且它们的轴线相互垂直，因此该立体具有对称性。我们可以只计算第一卦限内的立体表面面积，然后利用对称性得到整个立体的表面积。

步骤 2：计算第一卦限内的立体表面面积
在第一卦限内，立体表面位于圆柱面 ${x}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$ 上的那一部分。为了计算这部分的面积，我们需要计算该部分的面积元素。设 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，即 $z = z(x, y)$。由于 $z$ 满足 ${x}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$，我们可以得到 $z = \sqrt{R^2 - x^2}$。因此，面积元素 $dA$ 可以表示为：
$$
dA = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx \, dy
$$
其中，$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = 0$。因此，面积元素可以简化为：
$$
dA = \sqrt{1 + \left(-\frac{x}{\sqrt{R^2 - x^2}}\right)^2} \, dx \, dy = \sqrt{1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2}} \, dx \, dy = \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}} \, dx \, dy
$$
步骤 3：计算第一卦限内的立体表面面积
为了计算第一卦限内的立体表面面积，我们需要对面积元素 $dA$ 进行积分。积分区域为 $x$ 从 $0$ 到 $R$，$y$ 从 $0$ 到 $\sqrt{R^2 - x^2}$。因此，第一卦限内的立体表面面积 $A$ 可以表示为：
$$
A = \int_{0}^{R} \int_{0}^{\sqrt{R^2 - x^2}} \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}} \, dy \, dx = R \int_{0}^{R} \int_{0}^{\sqrt{R^2 - x^2}} \frac{1}{\sqrt{R^2 - x^2}} \, dy \, dx
$$
由于 $\int_{0}^{\sqrt{R^2 - x^2}} \frac{1}{\sqrt{R^2 - x^2}} \, dy = 1$，因此：
$$
A = R \int_{0}^{R} 1 \, dx = R^2
$$
步骤 4：计算整个立体的表面积
由于整个立体具有对称性，因此整个立体的表面积为第一卦限内的立体表面面积的16倍。因此，整个立体的表面积为：
$$
16A = 16R^2
$$