[题目]设函数 y=y(x) 由方程 ln y-x+y=0 确定,试-|||-判断曲线 y=y(x) 在点(1,1)附近的凹凸性.

考查要点：本题主要考查隐函数求导及曲线凹凸性的判断方法。
解题思路：

1. 验证点是否在曲线上：将点(1,1)代入原方程，确认满足条件。
2. 求一阶导数：对原方程两边关于$x$求导，解出$y'$的表达式，并代入点(1,1)求值。
3. 求二阶导数：对一阶导数的表达式再次求导，结合隐函数求导法则，得到$y''$的表达式，并代入点(1,1)求值。
4. 判断凹凸性：根据二阶导数在该点的符号，确定曲线的凹凸性（$y'' < 0$时为凸）。

验证点(1,1)在曲线上

将$x=1$，$y=1$代入原方程：
$1 \cdot \ln 1 - 1 + 1 = 0 - 1 + 1 = 0,$
满足方程，故点(1,1)在曲线上。

求一阶导数$y'$

对原方程$y \ln y - x + y = 0$两边关于$x$求导：
$\begin{aligned}\frac{d}{dx}(y \ln y) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y) &= 0, \\y' \ln y + y \cdot \frac{1}{y} y' - 1 + y' &= 0, \\y' (\ln y + 1 + 1) - 1 &= 0, \\y' (\ln y + 2) &= 1, \\y' &= \frac{1}{\ln y + 2}.\end{aligned}$
代入点(1,1)：
$y'(1) = \frac{1}{\ln 1 + 2} = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2}.$

求二阶导数$y''$

对$y' = \frac{1}{\ln y + 2}$两边关于$x$求导：
$\begin{aligned}y'' &= \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\ln y + 2} \right), \\&= -\frac{1}{(\ln y + 2)^2} \cdot \frac{d}{dx} (\ln y + 2), \\&= -\frac{1}{(\ln y + 2)^2} \cdot \frac{1}{y} \cdot y', \\&= -\frac{y'}{y (\ln y + 2)^2}.\end{aligned}$
将$y' = \frac{1}{\ln y + 2}$代入：
$y'' = -\frac{1}{y (\ln y + 2)^3}.$
代入点(1,1)：
$y''(1) = -\frac{1}{1 \cdot (0 + 2)^3} = -\frac{1}{8}.$

判断凹凸性

由于$y''(1) = -\frac{1}{8} < 0$，根据凹凸性判定规则，曲线在点(1,1)附近为凸。