【例1】求矩阵A=(}-1&1&0-4&3&01&0&2)的特征值和特征向量.
题目解答
答案
矩阵 $ A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} $ 的特征值和特征向量如下：
-
特征值：
特征方程 $ \det(A - \lambda I) = 0 $ 的解为 $ \lambda_1 = 2 $，$ \lambda_2 = \lambda_3 = 1 $。 -
特征向量：
- 对于 $ \lambda_1 = 2 $，特征向量为 $ k_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $（$ k_1 \neq 0 $）。
- 对于 $ \lambda_2 = \lambda_3 = 1 $，特征向量为 $ k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $（或等价地 $ k_2 \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} $，$ k_2 \neq 0 $）。
答案：
$\boxed{\begin{array}{cc}\lambda_1 = 2, & \text{特征向量 } k_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\\lambda_2 = \lambda_3 = 1, & \text{特征向量 } k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \quad (k_1, k_2 \neq 0)\end{array}}$
解析
本题考查矩阵特征值与特征向量的求解。解题思路是先根据特征值的定义，通过求解特征方程$\det(A - \lambda I) = 0$得到矩阵$A$的特征值，再将每个特征值代入齐次线性方程组$(A - \lambda I)X = 0$，求解该方程组得到对应的特征向量。
1. 求矩阵$A$的特征值
已知矩阵$A=\begin{pmatrix}-1&1&0\\-4&3&0\\1&0&2\end{pmatrix}$，单位矩阵$I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，则$A - \lambda I$为：
$A - \lambda I=\begin{pmatrix}-1 - \lambda&1&0\\-4&3 - \lambda&0\\1&0&2 - \lambda\end{pmatrix}$
根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，计算$\det(A - \lambda I)$：
$\begin{align*}\det(A - \lambda I)&=(-1 - \lambda)\begin{vmatrix}3 - \lambda&0\\0&2 - \lambda\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}-4&0\\1&2 - \lambda\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}-4&3 - \lambda\\1&0\end{vmatrix}\\&=(-1 - \lambda)(3 - \lambda)(2 - \lambda)-1\times(-4)\times(2 - \lambda)\\&=(2 - \lambda)[(-1 - \lambda)(3 - \lambda)+4]\\&=(2 - \lambda)(-3 + \lambda - 3\lambda + \lambda^2 + 4)\\&=(2 - \lambda)(\lambda^2 - 2\lambda + 1)\\&=(2 - \lambda)(\lambda - 1)^2\end{align*}$
令$\det(A - \lambda I) = 0$，即$(2 - \lambda)(\lambda - 1)^2 = 0$，解得$\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = \lambda_3 = 1$。
2. 求矩阵$A$对应特征值的特征向量
- 当$\lambda_1 = 2$时：
将$\lambda_1 = 2$代入$(A - \lambda I)X = 0$，得到$(A - 2I)X = 0$，其中$A - 2I=\begin{pmatrix}-1 - 2&1&0\\-4&3 - 2&0\\1&0&2 - 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&1&0\\-4&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$。
对应的齐次线性方程组为$\begin{cases}-3x_1 + x_2 = 0\\-4x_1 + x_2 = 0\\x_1 = 0\end{cases}$，由$x_1 = 0$代入$-3x_1 + x_2 = 0$可得$x_2 = 0$，$x_3$为自由变量，令$x_3 = k_1$（$k_1 \neq 0$），则特征向量为$k_1\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$。 - 当$\lambda_2 = \lambda_3 = 1$时：
将$\lambda_2 = \lambda_3 = 1$代入$(A - \lambda I)X = 0$，得到$(A - I)X = 0$，其中$A - I=\begin{pmatrix}-1 - 1&1&0\\-4&3 - 1&0\\1&0&2 - 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1&0\\-4&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}$。
对$A - I$进行初等行变换：
$\begin{pmatrix}-2&1&0\\-4&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_2 - 2r_1}\begin{pmatrix}-2&1&0\\0&0&0\\1&0&1\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_3+\frac{1}{2}r_1}\begin{pmatrix}-2&1&0\\0&0&0\\0&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_1\leftrightarrow r_3}\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&1\\0&0&0\\-2&1&0\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_3 - 2r_1}\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&1\\0&0&0\\-2&0&-2\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_3\div(-2)}\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&1\\0&0&0\\1&0&1\end{pmatrix}$
对应的齐次线性方程组为$\begin{cases}\frac{1}{2}x_2 + x_3 = 0\\x_1 + x_3 = 0\end{cases}$，令$x_3 = -1$，则$x_2 = 2$，$x_1 = 1$，所以特征向量为$k_2\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$（$k_2 \neq 0$），等价地也可表示为$k_2\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\end{pmatrix}$（$k_2 \neq 0$）。