若齐次性方程组 ) k(x)_(1)+(x)_(2)+3(x)_(3)=0 -(x)_(1)+(x)_(2)+3(x)_(3)=0 (x)_(1)+3(x)_(2)+k(x)_(3)=0 .有非零解,则有()。A k=-1或k=9 B k=9 C k≠-1且k≠9 D k=-1

步骤 1：将方程组写成矩阵形式
将方程组写成增广矩阵形式，即
$$
\begin{bmatrix}
k & 1 & 3 & 0 \\
-1 & 1 & 3 & 0 \\
1 & 3 & k & 0
\end{bmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式为0。计算行列式
$$
\begin{vmatrix}
k & 1 & 3 \\
-1 & 1 & 3 \\
1 & 3 & k
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：求解行列式为0的条件
计算行列式
$$
\begin{vmatrix}
k & 1 & 3 \\
-1 & 1 & 3 \\
1 & 3 & k
\end{vmatrix} = k(1 \cdot k - 3 \cdot 3) - 1(-1 \cdot k - 3 \cdot 1) + 3(-1 \cdot 3 - 1 \cdot 1) = k(k - 9) + (k + 3) - 12 = k^2 - 8k - 9
$$
令行列式等于0，得到
$$
k^2 - 8k - 9 = 0
$$
步骤 4：求解方程
解方程
$$
k^2 - 8k - 9 = 0
$$
得到
$$
k = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}
$$
所以
$$
k = 9 \quad \text{或} \quad k = -1
$$