题目

22.[简答题]写出线性规划问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解及目标函数值min Z=12x_(1)+16x_(2)+15x_(3)}2x_(1)+4x_(2) ge 22x_(1)+5x_(3) ge 3x_(1),x_(2),x_(3) ge 0

22.[简答题] 写出线性规划问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解及目标函数值 $\min Z=12x_{1}+16x_{2}+15x_{3}$ $\begin{cases}2x_{1}+4x_{2} \ge 2\\2x_{1}+5x_{3} \ge 3\\x_{1},x_{2},x_{3} \ge 0\end{cases}$

题目解答

答案

为了求解给定的线性规划问题及其对偶问题，我们首先需要写出原问题的对偶问题，然后分别求解原问题和对偶问题的最优解及目标函数值。 ### 原问题 原问题为： \[ \min Z = 12x_1 + 16x_2 + 15x_3 \] \[ \begin{cases} 2x_1 + 4x_2 \ge 2 \\ 2x_1 + 5x_3 \ge 3 \\ x_1, x_2, x_3 \ge 0 \end{cases} \] ### 对偶问题 对偶问题的变量为 $y_1$ 和 $y_2$，分别对应原问题的两个不等式约束。对偶问题为： \[ \max W = 2y_1 + 3y_2 \] \[ \begin{cases} 2y_1 + 2y_2 \le 12 \\ 4y_1 \le 16 \\ 5y_2 \le 15 \\ y_1, y_2 \ge 0 \end{cases} \] 简化对偶问题的约束条件，得到： \[ \max W = 2y_1 + 3y_2 \] \[ \begin{cases} y_1 + y_2 \le 6 \\ y_1 \le 4 \\ y_2 \le 3 \\ y_1, y_2 \ge 0 \end{cases} \] ### 求解对偶问题 对偶问题是一个简单的线性规划问题，我们可以使用图解法求解。在坐标系中画出约束条件： 1. $y_1 + y_2 = 6$（截距为6的直线） 2. $y_1 = 4$（平行于 $y_2$-轴的直线） 3. $y_2 = 3$（平行于 $y_1$-轴的直线） 可行域是这些直线围成的多边形，顶点为 $(0,0)$, $(4,0)$, $(4,2)$, $(3,3)$, $(0,3)$。我们计算目标函数 $W = 2y_1 + 3y_2$ 在这些顶点的值： - 在 $(0,0)$ 处， $W = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0$ - 在 $(4,0)$ 处， $W = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 8$ - 在 $(4,2)$ 处， $W = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 14$ - 在 $(3,3)$ 处， $W = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 15$ - 在 $(0,3)$ 处， $W = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 3 = 9$ 最大值为15，对应顶点 $(3,3)$。因此，对偶问题的最优解为 $y_1 = 3$, $y_2 = 3$，最优值为 $W = 15$。 ### 求解原问题 根据对偶理论，原问题的最优值等于对偶问题的最优值，即 $Z = W = 15$。我们使用互补松弛条件求解原问题的最优解。互补松弛条件为： \[ y_1 (2x_1 + 4x_2 - 2) = 0 \] \[ y_2 (2x_1 + 5x_3 - 3) = 0 \] 由于 $y_1 = 3$ 和 $y_2 = 3$，两个条件简化为： \[ 2x_1 + 4x_2 - 2 = 0 \implies x_1 + 2x_2 = 1 \] \[ 2x_1 + 5x_3 - 3 = 0 \implies 2x_1 + 5x_3 = 3 \] 我们解这个方程组： 1. $x_1 + 2x_2 = 1$ 2. $2x_1 + 5x_3 = 3$ 从第一个方程解出 $x_1$： \[ x_1 = 1 - 2x_2 \] 代入第二个方程： \[ 2(1 - 2x_2) + 5x_3 = 3 \implies 2 - 4x_2 + 5x_3 = 3 \implies 5x_3 = 1 + 4x_2 \implies x_3 = \frac{1 + 4x_2}{5} \] 代入目标函数 $Z = 12x_1 + 16x_2 + 15x_3$： \[ Z = 12(1 - 2x_2) + 16x_2 + 15 \left( \frac{1 + 4x_2}{5} \right) = 12 - 24x_2 + 16x_2 + 3 + 12x_2 = 15 + 4x_2 \] 由于 $Z = 15$，我们有： \[ 15 + 4x_2 = 15 \implies 4x_2 = 0 \implies x_2 = 0 \] 代回 $x_1$ 和 $x_3$ 的表达式： \[ x_1 = 1 - 2 \cdot 0 = 1 \] \[ x_3 = \frac{1 + 4 \cdot 0}{5} = \frac{1}{5} \] 因此，原问题的最优解为 $x_1 = 1$, $x_2 = 0$, $x_3 = \frac{1}{5}$，最优值为 $Z = 15$。 ### 最终答案 原问题的最优解为 $(x_1, x_2, x_3) = \left(1, 0, \frac{1}{5}\right)$，最优值为 $Z = 15$。 对偶问题的最优解为 $(y_1, y_2) = (3, 3)$，最优值为 $W = 15$。 \[ \boxed{15} \]

解析

考查要点：本题主要考查线性规划的对偶问题构造及最优解的求解方法，涉及对偶理论的应用和互补松弛条件的使用。

解题核心思路：

  1. 对偶问题构造：根据原问题的约束和目标函数，按照对偶规则生成对偶问题。
  2. 对偶问题求解：利用图解法确定对偶问题的最优解及目标函数值。
  3. 原问题求解：通过对偶理论（最优值相等）和互补松弛条件，结合对偶最优解反推原问题的最优解。

破题关键点：

  • 对偶规则的准确应用：注意原问题的约束方向和变量符号对对偶变量和约束的影响。
  • 图解法的几何直观：通过绘制可行域快速定位对偶问题的极值点。
  • 互补松弛条件的代数处理：利用对偶最优解确定原问题的紧约束，建立方程组求解。

步骤1：构造对偶问题

原问题为：
$\begin{aligned}\min Z &= 12x_1 + 16x_2 + 15x_3 \\\text{s.t.} \quad2x_1 + 4x_2 &\ge 2 \\2x_1 + 5x_3 &\ge 3 \\x_1, x_2, x_3 &\ge 0\end{aligned}$
根据对偶规则，对偶问题为：
$\begin{aligned}\max W &= 2y_1 + 3y_2 \\\text{s.t.} \quad2y_1 + 2y_2 &\le 12 \\4y_1 &\le 16 \\5y_2 &\le 15 \\y_1, y_2 &\ge 0\end{aligned}$
简化约束得：
$\begin{aligned}y_1 + y_2 &\le 6 \\y_1 &\le 4 \\y_2 &\le 3 \\y_1, y_2 &\ge 0\end{aligned}$

步骤2：求解对偶问题

  1. 绘制可行域：约束条件的交点为 $(0,0)$, $(4,0)$, $(4,2)$, $(3,3)$, $(0,3)$。
  2. 计算目标函数：
    • $(0,0)$: $W=0$
    • $(4,0)$: $W=8$
    • $(4,2)$: $W=14$
    • $(3,3)$: $W=15$（最大值）
    • $(0,3)$: $W=9$
  3. 最优解：$y_1=3$, $y_2=3$，最优值 $W=15$。

步骤3：求解原问题

  1. 互补松弛条件：
    • $y_1>0 \Rightarrow 2x_1 + 4x_2 = 2$（化简为 $x_1 + 2x_2 = 1$）
    • $y_2>0 \Rightarrow 2x_1 + 5x_3 = 3$
  2. 解方程组：
    • 从 $x_1 = 1 - 2x_2$ 代入 $2x_1 + 5x_3 = 3$，得 $x_3 = \frac{1 + 4x_2}{5}$。
    • 代入目标函数 $Z=15$，解得 $x_2=0$，进而 $x_1=1$, $x_3=\frac{1}{5}$。
  3. 验证约束：所有约束均满足，且目标函数值 $Z=15$。